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1、随机过程的微分和积分随机过程的微分和积分V在高等数学中，数列的收敛与极限是微积分的基础。V在随机过程中，随机序列的收敛与极限随机序列的收敛与极限的的则是随机过程微积分随机过程微积分的基础基础。“数列收敛”的概念¾若有数列S1,S2,…,Sn,…对任意小的正实数ε>0，总能找到一个正整数N，使得当n>N时，存在∣Sn-a∣<ε，对任意n>N，则称数列S1,S2,…,Sn,…收敛于常数a¾用limSn=a表示；或用S1，S2，…，Sn→an−>∞n−>∞¾¾数列数列{{SSn}}的极限为的极限为aa举例：设一个电压控制电路对
2、外来的噪声电压信号进行控制，使其稳定在某一水平。我们考察这一渐进过程。设该试验共有三个结果Ω=(ξ1,ξ2,ξ3)，在t=1,2,…,n,…上采样,随时间变化得一串随机变量X1,X2,…,Xn…←称随机变量序列{X(n)}。随机序列收敛的几种定义随机序列收敛的几种定义11、随机变量序列、随机变量序列““处处收敛处处收敛””()everywhere⋅若随机序列样本空间Ω={ξ1,ξ2,ξ3}中的“所有”的样本序列(普通数列)均收敛，即：ζ：xx(1),(2),L,x()nx→11111n→∞ζ：，x(1),xx(2),L,
3、()n→∈x(x,x,x)X22222123n→∞ζ：xx(1),(2),L,x()nx→33333n→∞lim()xnx=，∀∈Ωζ若若iiin→∞则称：随机序列{X(n)}“处处收敛”于随机变量X。记作：limX()nX=n→∞e简写：{()}XnX⎯⎯→V在“处处收敛”的定义中，Ω中只要有“一个”ξi对应的样本序列{xi()n}不收敛，则随机序列{X(n)}就不是“处处收敛”的。VV这个条件一般的随机序列都不容易满足这个条件一般的随机序列都不容易满足。2、以概率以概率11收敛（收敛（““几乎处处收敛几乎处处收敛””
4、））almost.every.wherealmost.every.where若随机序列{X(n)}相对试验E的所有可能结果ξ∈Ω满足：PX{lim()nX=}1=n→∞则称：随机序列{X(n)}“以概率1收敛”于随机变量X。ae.简记：{()}Xn⎯⎯⎯→X33、依概率收敛、依概率收敛（（ProbabilityProbability））若随机序列{X(n)}对于任意给定小正数ε>0，有：lim{PXnX()−≥=ε}0n→∞则称：随机序列{X(n)}“依概率收敛”于随机变量X。P记：{()}Xn⎯⎯→X44、依分布收敛、
5、依分布收敛(distribution)(distribution)若存在：limFxn()=Fx()n→∞则称：随机变量序列{X(n)}“依分布收敛”于X。d记：X()nX⎯⎯→F()x1F()x设：Fn(x)，n=1,2,…是nM随机序列{X(n)}的分布函F()xi数，F(x)是随机变量X的分MM布函数。0x5、均方收敛（平均意义下的收敛）均方收敛（平均意义下的收敛）Mean.squareMean.square设随机序列{X(n)}对所有的n=1,2,…二阶矩存在，随机变量X的二阶矩也存在。2若{X(n)}、X满足：
6、lim{()EXnX−=}0n→∞则称：随机序列{X(n)}“均方收敛”于随机变量X。MS⋅记作：limXnX⋅⋅()=，或：Xn()⎯⎯⎯→Xn→∞均方收敛的充要条件（柯西准则）柯西准则）若随机序列{X(n)}和随机变量X的二阶矩均存在，则{X(n)}均方收敛于X的充要条件是：2lim{EXnXm()−()}0=n→∞m→∞2V只需要对随机序列{X(n)}的一个方差一个方差EXnXm[()()]−进进行检验行检验，比较方便方便。VV在随机过程中运用的是均方收敛。在随机过程中运用的是均方收敛。四种收敛模式之间的关系四种收
7、敛模式之间的关系a⋅eePdM⋅Sa⋅eePdM⋅S随机过程的随机过程的均方均方连续连续1、定义若二阶矩过程在t∈T上满足2limE{[X(t+Δt)−X(t)]}=0Δt→0则称X(t)在t∈T上，“在均方意义下”连续。或称该二阶矩过程X(t)具有“均方连续性”。常表示为l⋅i⋅mX(t+Δt)=X(t)t∈TΔt→0或者简称过程m.s连续。2、均方连续的准则（过程X(t)在t∈T上均方连续的“充要条件充要条件””）（（11）若）若X(t)X(t)的自相关函数的自相关函数R(t,t)在在tt∈∈TTX12(t1=t2=
8、t)(t1=t2=t)上连续，则上连续，则X(t)X(t)便在便在tt∈∈TT上均方连续上均方连续。t2t=t=t∈T12T0Tt1（2）若若X(t)X(t)在在tt∈∈TT上均方连续，则上均方连续，则RX(t1,t2)在在t1=t2=tt1=t2=t上一般连续上一般连续。证明：R(t+Δt,t+Δt)−R(t,t)
