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1、江西理工大学理学院随机过程考试要点第一章随机变量的数字特征（数学期望、方差、矩等），特征函数，n维正态分布，条件概率分布、条件数学期望。第二章随机过程的基本概念和随机过程的分布律和数字特征，掌握几种重要的随机过程的定义：正交增量过程、独立增量过程、马尔可夫过程、正态过程、布朗过程、平稳过程，并能判断其类型。1江西理工大学理学院第三章泊松过程的定义，掌握泊松过程的基本性质，了解非齐次泊松过程、复合泊松过程的定义。第四章掌握马尔可夫链的基本概念和转移概率的求解方法，理解马尔可夫链的状态分类，了解状态空间的分解，(n)理解pij的渐近性质与平稳分布。第六章掌握平稳随机过程和联合平稳过程的
2、概念及其相关函数的性质，了解随机分析（极限、导数、积分）并能应用2江西理工大学理学院例1设X服从参数为λ的Poisson分布，求其特征函数。kλ−PX=k=eλk=jt解：(),0,1,2,Le−λeλek!∞k∞jtkjtkλ−λ()λe∴g(t)=∑ee=e−λjtk!∑=eλ(e−1)k=0k!k=0例2指数分布的特征函数⎧e−λx，x>0λf(x)=⎨λ>0⎩0,x≤0+∞itx+∞itx−λxg(t)=∫ef(x)dx=∫eλedx−∞0+∞(it−λ)xλ=λ∫edx=,λ>00λ−it3江西理工大学理学院例4二项分布X～Ｂ(n,p)的特征函数kkn−kpk=P{X=k
3、}=Cnpqk=0,1,2,L,nnitkitkkkn−kg(t)=∑epk=∑eCnpqkk=0nkitkn−kitn=∑Cn(pe)q=(q+pe)k=04例设四维随机向量江西理工大学理学院X=(X1,X2,X3,X4)~N(µX,BX)，其中⎡6321⎤⎢⎥3432µX=(2,1,1,0)，BX=⎢⎥⎢2343⎥⎢⎥⎣1233⎦(1)求出(X1,X2)的分布(2)求出Y=(2X1,X1+2X2,X3+X4)的分布。(3)求Y=(2X1,X1+2X2,X3+X4)=(Y1,Y2,Y3)的特征函数解(1)(X1,X2)服从参数为均值向量(2,1)，⎛63⎞协方差矩阵⎜⎟的二维正态
4、分布⎝34⎠5江西理工大学理学院（2）求出Y=(2X1,X1+2X2,X3+X4)的分布。⎡210⎤⎢⎥020解：（2）由于Y=()X1,X2,X3,X4⎢⎥=XC⎢001⎥⎢⎥⎣001⎦故Y服从三维正态分布Y~N(µY,BY)，其中⎡24246⎤⎢⎥BY=C′BXC=243413⎢⎥⎢⎣61313⎥⎦⎡210⎤⎢⎥020µY=()2,1,1,0⎢⎥=(4,4,1)⎢001⎥⎢⎥⎣001⎦6江西理工大学理学院(3)求Y=(2X1,X1+2X2,X3+X4)=(Y1,Y2,Y3)的特征函数Y~N(µY,BY)⎡24246⎤⎢⎥µY=(4,4,1),BY=C′BXC=⎢243413⎥⎢
5、⎣61313⎥⎦定理设n维随机向量X~N(a,B)，则其特征函数为⎡1⎤f()t=exp⎢jat′−tBt′⎥,其中t=(t1,t2,L,tn)⎣2⎦222tBt′=24t1+34t2+13t3+48t1t2+12t1t3+26t2t3f()t=exp[j(4t1+4t2+t3)222−(12t1+17t2+6.5t3+24t1t2+6t1t3+13t2t3)]7江西理工大学理学院例设(X,Y)的概率密度函数为1−(x+y)⎧y⎪ex>0,y>0f()x,y=⎨y，求E[X
6、y=3],E(X)⎪⎩0其它⎧−y∞ey>0解fY(y)=∫f()x,ydx=⎨−∞0y≤0⎩1−x()⎧y
7、fx,y⎪ex>0∀y>0fXY(xy)==⎨yfY(y)⎪⎩0x≤0∞∞x−xE[Xy]=xf(xy)dx=eydx=y∫−∞XY∫0yE[Xy=3]=3,EXEEXy∞ye−ydy[]={[]}=∫=108江西理工大学理学院例2求随机相位正弦波X(t)=acos(ωt+Θ),t∈(−∞,+∞),的均值函数、方差函数和自相关函数,其中a和ω是正常数,Θ是在(0,2π)上服从均匀分布的随机变量.解Θ的概率密度为⎧1⎪,0<θ<2π,p(θ)=⎨2π⎪⎩0,其他.mX(t)=E[X(t)]=E[acos(ωt+Θ)]2π1=∫acos(ωt+θ)⋅dθ=0.02π9江西理工大学理学院
8、RX(s,t)=E[X(s)E(t)]2=E[acos(ωs+Θ)cos(ωt+Θ)]22π1=a∫cos(ωs+θ)cos(ωt+θ)⋅dθ02π2a=cosω(t−s).2令s=t,即得方差函数为222aσX(t)=RX(t,t)−mX(t)=RX(t,t)=.210江西理工大学理学院例：设有一泊松过程{N(t),t≥0}，求：（1）P{N(t1)=k1,N(t2)=k2}，其中t2>t1；（2）问该过程是否为平稳过程？解：根据泊松过程的独立增量性质可知P{N(t
