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1、第二期晋中师专学报年‘积分区域的对称性「在重积分计算中的应用‘张盆康并龙《吕梁高等专科学校一》摘要,,一段数学分析教科书中给出了在对稼区闻上当被积兔滋为有娜两橄时定识分计,算的两种简便方法渗文将这一条件作进,步扩充给出在对称区城上当彼积函数为奇,,。成侧函数时重识分线积允面税分的简便针算方法’一,、,函数奇偶性,篇关键词区域对称性权分计算、二,。,设二元函数在有界闭域上连续有如下定理,〕即〔一,〔〕卜〔林‘,协,⋯,协。上面心〕·艺林〔,且〔〕林,〔〔〕,,⋯,并要求为凸函数。林、,,⋯,,,构造区间全并取的中点为,
2、,⋯,,依最大隶属原则向量·‘·““,,,二。即为所求的评判函数的系数向量,,。由此我们可根据评判函数的取值大小进行排序,,今考书模糊数学基础张文修编西安交大出版社测度与概率基础中山天学概率论教研室编广东科技出版社了,,,,定理若有界闭域关于轴对称当把函数中的视为常量丫,、,,了〔,一,〔是关于变量的奇函数即对劫有一,一,,且时则有二重积分‘魂“加衍爪痴一、二,,。、关于,一,,当。、、、之、、,。。巍赫谕、,提友且一,,时,则有,少几·,·二·,一·。,。,、‘,‘一,‘丁丁、·,、。其中分别是轴右左部分的对称区域
3、‘,,,定理吞若有界闭域养于轴对称当把函数,中的,观为常数、,,二,是变量,的奇函数时贝。也,二吴〔犷、、、着万,‘’、、,,’,、当‘关量,丈,‘‘夜娜吵时可红州教体妇今。二,义,、。其中分另是轴的上下部分对称区域一‘,。下面仅给出定理中第一个结论的证明其它类似,,,,,证明对轴右边的区域任给一个分法分法将分成几个小有界闭域,,,。,、,,,。二,,⋯它们的面积分别表为△△⋯△在每个小区域,,一,、,,,,,,一任取一点乙并设⋯,·,,,⋯,,分别是小有界闭域的直径令故有广广乙,,、,‘,火,△曰二沙,长,,而对于
4、轴左边的区域因它与关于轴对称只要将的情况以轴为镜面反射,尹、尹,月、产,,函数过去即可但这里每个小区域上点取为七此时在上的、产,月,产△、,积分表为习邑注意到函数是关于的奇函数所以、、,,刀。尹,二一刃犷,劝,‘艺邑△‘了、产△“、,艺艺一,、一,”‘,〔毛叭〕△七△门几“一于,一一,又,。,,有于是“爹,︸自“一’‘““’‘,卜,丁丁丁“,证毕,户,,,一,了,例一计算积分①其中‘,·②一“,,其中,函数,解①区域关于轴对称如图在上对是奇函数了。,,,二解②区域关于轴对称如图函数在上对是偶函数·‘·二一·‘·,,一
5、一在上对是奇函数丁·’‘,品名丁召亿。立呈‘“尔器、,。对于三元函数也有类似定理二,,,,设三元函数在空间有界闭域上连续有,笼,,定理若有界闭域关于面对称当被积函数是把其巾的视为常数,,,,,二甲,函数是关于变最的奇函数即令一,二一冲吟时则有,“一,,‘·,二,,二,一》二,当函数是关于变最的偶函数即令中哈吟时,,‘,,·则有‘一‘一‘一‘一,‘仃仃,、。其中分别是面上下方部分区域当然还可以给出区域关于另外两个坐标面的对称及函数是另外两个变量的奇偶函‘,。,。数时的结论本文不再赞言关于定理的证明完全类似于定理的证明二
6、,,例二计算其中考异感【,上名共,解区域如图·,’“‘二·’·’··“’丫,,而区域关于面对称函数是的户·,‘二”’,’奇函数丁二。,二,,又区域关于面对称函数是的奇函热。二,‘。,二月‘产‘‘,‘故‘里一‘十,,了,‘对于这三个因为函‘是偶函仇价一。。,,,,而区域分别投影到三个坐标轴后又得到对称区间先计和将狡形到轴上的一,,,投影区间为〔〕与之对应的图形如右图。。‘,,,由于区一‘瓜‘·’。‘”“,。。间〔一〕对称丁,的二一其中面,通生、“,“注意将视为常橄得”、,,,名、,,。,。二,一升肠‘一气一布不,,右福
7、于叫苦砚甘‘,卜研卫班川矛寸一、了了砂、与,葬“,二。。,,故二‘,‘‘”一”““‘兵一而二兮多火。么“兀石丁亏‘,、“例三计算丁其中由抛物面训了‘,。二抛物柱面圣训歹及平面围成,解先画出区域从图中可知区域关于面对称于是我们只需作出上半块区,,,于域图被积函数是常数可视为关于的偶函数是一·‘,‘二“·‘,‘拼一“侧广侧厂。“了为士斌侧一价‘蚤侧一·一‘认〔着合斌两一毛飞训产蚤斌广,、。一份,’一、‘、合宁为尔令、,关于曲线积分有定理第型曲线积分存在,,定理若曲线是关于轴对称的,当被积函数是将视为,常数时关于变量的奇函
8、数则有丁,二,,,是关于变量的偶函数时则有口‘,,二“丈了,产、万其中曲线习,,尹声、是。曲线在轴右侧的部分,,定理的证明不十分复杂只要注意到已知条件中曲线关于轴对称然后从定义出,,、,,。发采用关于轴对称的分割取点求和取投张便得以上结论,‘,二,例四求曲线积分其中,,二解易知积分曲线在面上关于轴对称且被积函数是的奇函,数据本定理知“。么,,·
