对称性在积分计算中的应用

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1、对称性在积分计算中的应用陈先红（湖北省仙桃市沔城高级中学）摘要：积分学是高等数学教学中的重点。灵活运用积分学中的对称性，可以使一些复杂的积分运算简化。关键词:对称性；奇函数；偶函数；积分Abstract:ThecalculationofintegralisveryimportantintheteachingofAdvancedmathematics.ThecalculationofmanyintegralsinCalculuscanbesimplifiedifthesymmetriesareconsideredsufficiently.Keywords:symmetry;o

2、ddfunction;evenfunction；integral在高等数学中，运用对称性来简化积分运算是一种常用的方法。在积分计算中,利用积分区域的对称性及函数对自变量的奇偶性来简化积分计算,经常可以达到事半功倍的效果.1对称性在定积分中的应用当函数在上连续，则（1）当为偶函数，有；（2）当为奇函数，有.例1计算解：因为积分区间对称于原点，且为偶函数，为奇函数，所以原式=2对称性在二重积分中的应用利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，常常使二重积分的计算简化许多，避免出现繁琐的计算。但在使用该方法时，要同时兼顾到被积函数的奇偶性和积分区域D的对称性两方面。有下列常用结论：

3、（1）如果积分区域D关于y轴对称，则有（a）当时，（a）当时，其中（1）如果积分区域D关于x轴对称，则有（b）当时，（c）当时，其中（2）如果积分区域D关于x轴和y轴都对称，且关于变量x和y都为偶函数，则有其中是D在第一象限的部分。（3）如果积分区域D关于原点对称，且被积函数是关于x或y的奇函数，则（4）如果积分区域D关于对称，则例14证明不等式，其中证明：因为D关于对称，所以故又由于而D的面积为1，由二重积分的性质，得3对称性在三重积分中的应用使用对称性时应注意：1.积分区域关于坐标面的对称性；2.被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性。一般地，当积分区域关于XOY

4、平面对称，且被积函数是关于的奇函数，则三重积分为零；若被积函数是关于的偶函数，则三重积分为在XOY平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍。类似可得到其他两种情形。例6利用对称性简化计算其中积分区域.解：积分区域关于三个坐标面都对称，被积函数是的奇函数，所以4对称性在第一类曲线积分中的应用对称性在第一类曲线积分中应用时应注意：1.积分弧段关于坐标轴的对称性；2.被积函数关于另一变量的奇偶性。若曲线L关于x轴对称，则有当是y的奇函数，即时，.当是y的偶函数，即时，，其中是L位于上半平面的部分.若曲线L关于y轴对称,也有类似的结论。需要注意的是，对于第二类曲线积分,不能使用上述对称

5、性简化计算。一般应先将它们化为定积分后,才能考虑是否可用对称性简化计算。例4．设是以为顶点的正方形边界，求曲线积分.解：因为积分弧段关于X轴和Y轴都对称，被积函数关于Y和X都是偶函数。利用对称性，可以转化为第一象限曲线积分的4倍。5对称性在第一类曲面积分中的应用对称性在第一类曲面积分中应用时应注意：1.积分曲面关于坐标面的对称性；2.被积函数关于另一变量的奇偶性。若曲面关于XOY坐标面对称，则有当是关于z的奇函数时，.当是关于z的偶函数时，，其中是在XOY坐标面上方的部分.若曲面关于YOZ和ZOX坐标面对称,也有类似的结论。需要注意的是，对于第二类曲面积分,不能使用上述对称

6、性简化计算。一般应先将它们化为重积分后,才能考虑是否可用对称性简化计算。例4计算，其中为抛物面.解：易见抛物面关于XOZ，YOZ坐标面对称，被积函数关于Y,X为偶函数。所以(为第一卦限部分曲面).原式其中原式综上所述，在计算积分问题时，充分考虑被积函数和积分区域的特点，灵活地运用上述性质，可以使计算量简化。参考文献[1]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.[2]张翠华.对称性在曲线积分和曲面积分中的应用[J].西南科技大学《高教研究》，2004（1）：21-22.[3]王湘平.对称原理在积分计算中的应用[J].陇东学院学报，2009（2）：2

7、1-24.[4]常浩.对称性在积分学中的应用[J].高等数学研究，2011（2）：59-62.