一类离散型随机变量高阶原点矩的递推计算方法

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1、第10卷第15期2010年5月科学技术与工程Vo1．10No．15May20101671—1815(2010)15—3681—03ScienceTechnologyandEngineering⑥2010Sci．Tech．Engng．一类离散型随机变量高阶原点矩的递推计算方法于晶贤(辽宁石油化工大学理学院，抚顺113001)摘要考虑到直接用定义计算随机变量高阶原点矩的复杂性，将组合数学中两个重要的组合恒等式()=(11)+(一)和()=n(11)应用到一类离散型随机变量高阶原点矩的计算中，给出了二项分布、负二项分布和超几何分布随机变量高阶原点矩的递推计算公式。关键词高阶原点矩

2、超几何分布二项分布负二项分布组合恒等式中图法分类号0211．2；文献标志码A高阶矩是随机变量的重要数字特征，它在金融其中g=1一p，f、?，)表示取的组合数，当>投资、保险和数据传输中都有着重要的应用¨J，高阶矩的计算就显得尤为重要。组合数学中的第二类Stifling数和代数的方法已经很好地应用到了二时㈣-o。项分布和泊松分布的高阶原点矩的计算中H，5J。本文考虑到二项分布、负二项分布和超几何分布的重要性，结合他们共同的特点：这三种分布的随机变量的分布律中都含有组合数，在计算这三个分布的Pt=t=(二：)pq卜r，=r，r+·，⋯。高阶原点矩时将组合数学中两个重要的组合恒等

3、式6()=(It-．一1)+(一)和()=n(l1)应用其中，起到了降阶的作用，将随机变量的k阶原点矩转化为k一1原点矩。此方法的采用也体现了概率论与组合数学之间的紧密联系。=o，．，⋯，mi，1三个重要的离散型分布记B(n，p)为参数为It,p的二项分布，若X～B(n，P)，则P{X=ii=0，1，⋯，n。2010年3月22日收到作者简介：于晶贤(1982一)，辽宁省丹东市人，助教，硕士，研究方向：概率统计。3682科学技术与工程1O卷nngr—r+∑咕∑t2主要结果∑Ⅲk-I／i一1＼r+li-1-r．‘I，尸g定理1若随机变量X—B(n，P)，则E(X‘)=nE(X)

4、一nqE()。rE(Xk一一)+q-r其中Y—B(n一1，P)。证明rE(X∑)+qrE(一)。E()==(、t／1pg～i=l(、￡／1pq～=其中l，一NB(r+1，P)。i0定理3若随机变量～日(肘，N，凡)，则1／n一1＼一E(X)=ME(Xk一)一()。刍I一1J舢其中l，～(M一1，N一1，n)n耋(l1)pg一=证明记s=min(M，n)，t=min(M一1，n)。∑一【()一(一1)】pig～=一i=1E(X)=∑i一=0n∑∑pl，n一1、一．．一∑∑n‘k-1／ln＼J叫IPq培。一g一l／IIt一1＼J舢⋯1一M-M(N-M、—，lni)，nE(X)一

5、nqE()。其中l，一B(It一1，P)。定理2若随机变量～NB(r,p)，则E(X)=rE(X)+arE(一)。㈣一’二)∑ii=l其中y～NB(r+1，P)。证明／i一1＼．／i一1＼，in-i)E(Xk)=∑iI，一1Jpg。【，一1gii=l。．k-1l＼r+1ig-寺，(M1)N-M)M∑，⋯寺L(／ri)+(，i-1)】pgr==1丁寺．k-I／i一1＼，+l‘I，一lJpg(M)(N-M)。，⋯寺．k-l／i一1＼r+l⋯。I，Jpg15期于晶贤，等：一类离散型随机变量高阶原点矩的递推计算方法3683()=R(M一1，N一1，n,k一1)，由定理3，得兄(，N

6、，R，k)=MR(M，N，／／,，k一1)一=Ⅳ一R(一一1，Ⅳ’一1，凡，

7、I}一1)。ME(X)一E()。初始值：R(M，Ⅳ，，1)=nM，R(o，Ⅳ，n，Jj})=0，此例中M=6，N=10，n=4，k=8，得E()=3实例7290．4。参考文献例1已知一曰(10，0．5)，求E()。解：因为E(X)由三个参数n，P，k决定(此例1王莺歌，江孝感．高阶矩风险与金融投资决策．价值工程，2008；9：7—10中n=10，P=0．5，k=8)，所以令层()；兄(n，2赵晓瑜，谭忠．含有高阶矩的CAPM在保险业的应用．山西财P，k)，贝0E(X)：R(，P，k一1)，E(矿)

8、=R(n经大学学报，2007；sl：1o6一l07一1，P，k—1)，由定理1，有3赵国英，向世明，李华．高阶矩在颜色传输中的应用．计算机辅(n，P，)=nR(17,，P，k一1)一凡(1一P)(一助设计与图形学学报，2004；1：62—661，P，k一1)。4李金秋．二项分布高阶原点矩的一种简便算法．辽宁石油化工大初始值：R(n,p，1)=np，R(0，P，k)=0。学学报，2008；28(1)：89—9l5朱振广，张志文．求解Poisson分布和二项分布高阶矩的代数方最后算得E()=R(10，0．5，8)=23