原点矩及中心矩

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第10讲原点矩与中心矩协方差与相关系数教学目的：掌握矩、协方差及相关系数的概念、性质及计算。教学重点：矩、协方差及相关系数的概念和性质。教学难点：矩、协方差及相关系数的概念。教学学时：2学时教学过程：第三章随机变量的数字特征§3.3原点矩与中心矩随机变量的数字特征除了数学期望和方差外，为了更好的描述随机变量分布的特征，有时还要用到随机变量的各阶矩（原点矩与中心矩），它们在数理统计中有重要的应用。定义1设是随机变量，若存在，则称它为的阶原点矩，记作，即，显然，一阶原点矩就是数学期望，即。定义2设随机变量的函数的数学期望存在，则称为的阶中心矩，记作，即，易知，一阶中心矩恒等于零，即；二阶中心矩就是方差，即。不难证明，原点矩与中心矩之间有如下关系：5 等。定义3设和是随机变量，若存在，则称它为和的阶混合矩。若存在，则称它为和的阶混合中心矩。§3.4协方差与相关系数1.协方差与相关系数的定义二维随机变量的数字特征中最常用的就是协方差与相关系数。定义3设有二维随机变量，如果存在，则称为随机变量与的协方差，记作，即而称为随机变量与的相关系数，记作，即显然，协方差是和的二阶混合中心矩。当，通常称随机变量与是不相关的。2.协方差的性质(1)，由定义知性质（1）是显然的。(2)证(3)5 证该性质可推广到任意场合，即(4)，是常数。由定义知性质（4）是显然的。(5)由定义知性质（5）是显然的。(6)若与相互独立，则，即与不相关。反之，若与不相关，与不一定相互独立。3.相关系数的性质(1)(2)若与相互独立，则(3)当且仅当与之间存在线性关系（为常数，）时，，且。证对于性质（1），我们考虑随机变量，由协方差的性质（3）可得故对于性质（2），由于与相互独立，则有，由定义知。对于性质（3），若，则，，5 即，事实上相关系数只是随机变量间线性关系强弱的一个度量，当时说明随机变量与之间具有很强的线性关系，当时为正线性相关，时为负线性相关。当时，随机变量与之间的线性相关程度将随着的减小而减弱，当时，意味着随机变量与是不相关的。例1设随机变量服从上的均匀分布，又，试求相关系数。解故相关系数，随机变量与不相关，但是有，从而与不独立。例2设二维随机变量的联合概率分布如下：01-101/301/30101/35 试证明与不相关，但不相互独立。证易知与的边缘概率分布分别是：011/32/3-1011/31/31/3由公式得所以与是不相关的。但是，因为，，故与不相互独立。例3设二维随机变量的概率密度函数为试证明随机变量与不相关，也不相互独立。证由于关于轴、轴对称，故因而，即与不相关。又由于，显然在上，，所以与不相互独立。5