§2.2.3向量数乘运算及其几何意义

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1、高一（）班第（）学习小组姓名§2.2.3向量数乘运算及其几何意义撰写：陈燕飞审核：韦国锋【学习目标】1、掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；2、掌握实数与向量的积的运算律；3、理解向量共线定理，能够运用定理解决共线等问题。【学习过程】一、知识链接已知非零向量，作出和。二、新课导航探究任务一：相同向量相加后，和向量的长度与方向有什么变化？（1）与方向相同且；（2）与方向相反且上题结果可记为：定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：。其大小和方向规定如下：大小：方向：λ>0时，与方向相同；λ<0时，与方向相反。特别地，

2、当或时。探究任务二：运算律练习2：(1)根据定义，求作向量和(为非零向量)，并进行比较。结论：，(2)已知向量、，求作向量和，并进行比较。结论：归纳得：设、为任意向量，、为任意实数，则有：结合律：第一分配律：第二分配律：练习3：计算(口答)(1)(2)(3)解：(1)原式=(2)原式=(3)原式=向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。探究任务三：向量共线定理问题①如果,那么，向量与是否共线？问题②如果非零向量与共线，那么，？对于向量()、，如果有一个实数，使得,那么，由数乘向量的定义知：向量与共线。若向量与共线，，且向量的长

3、度是的长度的倍，即有,当与同方向时，有;当与反方向时，有所以始终有一个实数，使。从而得到，向量共线定理向量与非零向量共线当且仅当有唯一一个实数，使得。三、典型例题例1、如图，已知、，试判断与是否共线?CEABD解：∵、又∴与共线。在本题中，若B、C分别是AD、AE的三等分点，你能否利用向量关系来证明BC‖DE呢？例2、已知任意两非零向量、，试作,，。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？解：作图如右（过程略）依图观察，知A、B、C三点共线。CAoBCAoACAoOCAo证明如下：∵又∴又与有公共点A，∴A、B、C三点共线

4、。解后小结：证明三点共线，可以直接运用定理，找出两向量间关系，再利用它们有一个公共点，得到三点共线。举一反三：1、判断下列各小题中的向量a与b是否共线.2、如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M、N、C三点共线。四、学习小结五、课后作业：