不变子空间、若当、最小多项式(简介)

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1、§7不变子空间◎本节重点：不变子空间的定义与“限制”.已知可对角化对应于对角矩阵，但是并不是每个都能对角化的.退一步，对应于准对角形也好；虽然比对角形复杂，但也算简单.这个问题的研究需要用到不变子空间的概念.一、定义与例子1.定义：，是的不变子空间是的子空间，且有.简称-子空间.（注意：与线性变换有关）2.例子：设，则下列子空间都是的不变子空间：1）2）3）4）5）例1若线性变换与是可交换的，则的核与值域都是-子空间.二、线性变换在不变子空间上的“限制”1.定义：设是的不变子空间，可只在中考虑，记为.【意义】缩小了线性变换的范围，从而简化线性变换.因此，

2、如果可分解为若干子空间的直和，那么对的线性变换的研究就归结为对各个子空间的直和研究.2.区别：与的作用结果一样，但作用范围不同.即；无意义.三、不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系（意义）设可分解为若干个-子空间的直和：，在每个不变子空间中取基，，并把他们合并为的一组基，则在这组基下，的矩阵具有准对角形，其中，是在对应基下的矩阵.进一步的，我们有：*四、不变子空间的直和分解定理12：设线性变换的特征多项式可分解成一次因式：,则可以分解成不变子空间的直和：8,其中.§8若当（Jordan）标准形介绍若当（Jordan）标准形是一类特殊的准对角矩阵.一、基

3、本定义1.若当块（是复数；注意对角元相同）2.若当形矩阵＝由若干个若当块（阶数未必相同、未必相同）组成（不计顺序）的准对角矩阵.（若当形矩阵中包括对角矩阵）【问题】若当形矩阵的特征值＝？例1求所有的三阶若当形矩阵.（若当块不计排列顺序）二、主要结论定理13：，在中必定存在一组基，使在这组基下的矩阵式若当形矩阵.（这个若当形矩阵除去其中若当块的排列次序外，是被唯一决定的，它称为的若当标准形）若用矩阵来描述，即定理14：复数域上，每个方阵都相似于某个若当形矩阵.（好用的结论）三、若当标准形的求法（第八章介绍）【特例】若可对角化，则若当标准形就是相似的对角矩阵

4、.【第二届中国大学生数学竞赛预赛2010】设，证明无解，这里为三阶复数矩阵.[证法]对复数矩阵，优先考虑它相似于某个Jordan矩阵这个性质，并联系特征值.§9最小多项式介绍8最小多项式有着良好的理论意义，特别是适用于对角化问题.已知定理：方阵的特征多项式是的零化多项式.要寻找其中次数最低的，这就是最小多项式的研究思路.一、基本定义定义：是方阵的最小多项式且次数最低、首项系数为.例数量矩阵的最小多项式是二、基本性质引理1矩阵的最小多项式必唯一.证法带余除法引理2是的零化多项式是的最小多项式的倍式，即.【特例】最小多项式是特征多项式的因式.证法带余除法例求

5、的最小多项式.【问题】相似矩阵有相同的最小多项式？例阶若当块的最小多项式是（直接计算，）三、主要结论定理数域上矩阵可对角化的充要条件是的最小多项式是上互素的一次因式的乘积.推论复数域上可对角化的充要条件是的最小多项式无重根.例设是阶幂等矩阵，且秩为.试求的相似标准形，并说明理由；求.解法：由知有最小多项式且无重根，所以相似于对角矩阵，且特征值只能是或.又，故存在可逆矩阵使.从而.8矩阵相似对角化的应用1.利用矩阵相似对角化计算矩阵多项式若矩阵与相似，则存在可逆矩阵使得，于是.进一步有：当是多项式时，.特例：当相似于对角矩阵时，由容易计算方幂.2.求Fib

6、onacci数列通项：解法用矩阵形式表示递推关系式的特征值为，对应的特征向量为，由此可求，即得.3.利用矩阵相似对角化线性方程组【例】（人口流动问题）设某国人口流动状态的统计规律是每年有十分之一的城市人口流向农村，十分之二的农村人口流入城市.假定人口总数不变，则经过许多年以后，全国人口将会集中在城市吗？解设最初城市、农村人口分别为，第年末人口分别为，则，记，可得.为计算，可考虑把相似对角化.特征多项式.对应的特征向量为；对应的特征向量为取，得令，有，得8可见当时，城市与农村人口比例稳定在.定理7：设为实对称矩阵，则必存在正交矩阵，使得为对角阵.（注意：对

7、角元恰好是的全体特征值）（常用于证明题）[证明思路]：利用对称变换的理论，等价于对称变换有个特征向量作成标准正交基（见教材）.也可用数学归纳法，将实对称矩阵用两次正交相似变换化为对角阵.证明：设在维欧氏空间的标准正交基下的矩阵是，则是对称变换.时，，取，则，有，即为所求.设时命题成立（含义？），考虑的情形.设法把分解成，才能使用归纳假设：1）对称有实数特征值（才能保证特征向量，正交矩阵要求实数矩阵）；2）取，则是实特征向量.设是的正交补，则是-子空间，维数为，且是的对称变换.于是利用归纳假设，有个特征向量标准正交，联合即为的特征向量、标准正交基.另证：直

8、接从矩阵角度证明，数学归纳法：显然.设时命题成立，必有实数特征值（特征向量），取