分段三次埃尔米特插值

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1、分段三次埃尔米特插值分段线性插值函数的导数是间断的，若在节点（=0，1，…，）上除已知函数值外还给出导数值（=0，1，…，），这样就可构造一个导数连续的分段插值函数，它满足条件：（1）.代表区间一阶导数连续的函数集合.（2）,(=0,1,…).（3）在每个小区间上是三次多项式.由两点三次插值多项式可以知道在区间上表达式为+.分段三次埃尔米特插值比分段线性插值效果明显改善，但这种插值要求给出节点上的导数值，所要提供的信息太多，其光滑度也不高（只有一阶导数连续），改进这种以克服其缺点就导致三次样条插值

2、的提出.三次样条插值上面讨论的分段插值函数都有一致收敛性，但光滑性比较差，对于像告诉飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数.早起工程师制图是，把富有弹性的细长木条（所谓样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由的弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线.样条曲线实际上有分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从而数学上加以概括就得到数学样条这一概念.三次样条函数定义若函数,并且在每个小区间上是三次多项式，其中是给定节点，则称是节点，，…，上的三次样条

3、函数.若在节点上给定函数值（=0，1，…，），并且成立（=0，1，…，），（1.1）则称为三次样条插值函数.由定义知道要求出，在每个小区间上要确定4个待定系数，一共有个小区间，所以应该确定4个参数.根据在上二阶导数的连续性，在节点（=1，2，…，-1）处应该满足连续性的条件，（1.2）.一共有3-3个条件，再加上要满足插值条件（1.1），共有4-2个条件，因此还需要2个条件才能确定.通常可以在区间端点，上各加上一个条件（称为边界条件），可根据实际问题要求给定.常见的有以下3种;(1)已知两端的一阶

4、导数值，即，.(1.3)(2)两端的二阶导数已知，即，，（1.4）其特殊情况为.(1.5)（3）当是以-为周期的周期函数时，则要求也是周期函数.这时边界条件应满足，，.(1.6)而此时（1.1）中.这样确定的样条函数称为周期样条函数.埃尔米特插值不少实际问题的插值问题不但要求在节点上函数值相等，而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等，满足这种要求插值的多项式就是埃尔米特（Hermite）插值多项式.下面只讨论函数值与导数值个数一样的情况.设在节点上，，（=0，1，…，），要求插值多项

5、式，满足条件，（=0，1，…，）.(1.1)这里给出了2+2个条件，可唯一确定一个次数不超过2+1的多项式，其形式为.如果根据条件（1.1）来确定2+2个系数，，…，，显然非常复杂，因此，我们依旧采用拉格朗日插值多项式的基函数的方法.先求插值基函数及（=0,1,…,）,一共有2+2个，每一个基函数都是2+1次多项式，且满足条件（1.2）于是满足条件（1.1）的插值多项式可以写成用插值基函数表示的形式.(1.3)由条件（1.2）可以知道，有，，（=0，1，…，）.下面的问题就是求满足条件（1.2）的

6、基函数以及.所以，我们可以利用拉格朗日插值基函数.令，由条件（1.2）有，,整理得.解出，.由于，利用两边取对数再求导数，有，所以有.(1.4)同理，可以得到.(1.5)同时还证明满足条件（1.1）的插值多项式是唯一的.用反证法，假设及都满足条件（1.1），所以有在每个节点上均有二重根，即有2+2重根.但是是不高于2+1次的多项式，所以.唯一性得到证明.