教案三埃尔米特插值法和分段低次插值法

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1、教案三埃尔米特插值法和分段低次插值法基本内容提要1埃尔米特插值法及基函数2龙格现象3分段低次插值法教学目的和要求1掌握埃尔米特插值法及其相关概念2理解利用基函数构造埃尔米特插值多项式的思想3理解分段低次插值法的基本思想教学重点1埃尔米特插值基函数及插值多项式的表达式2分段低次插值法的基本思想教学难点1利用基函数的方法构造埃尔米特插值多项式的思想方法和过程2利用构造差商表的方法构造埃尔米特插值多项式的思想方法和过程3插值余项公式的证明思路课程类型新知识理论课教学方法结合提问，以讲授法为主教学过程问题引入如果插值条件要求插值多项式与被插函数在某些点的函数值和导数值分别对应相等，这种插值多

2、项式为埃尔米特（Hermite）插值多项式，构造埃尔米特插值多项式的方法就是埃尔米特插值法。§2.5埃尔米特插值法假设待构造的多项式Hx()需要满足如下插值条件：'Hx()==yHx,()mi,0,1,,.=Ln（2.9）iiii因为该插值条件包含2n+2个独立等式，所以一定可以确定唯一一个2n+1次的多项式Hx()满足上述条件。记之为Hx()。21n+12.5.1构造基函数的方法类似于拉格朗日插值多项式的构造方法，用具有特殊性质的基函数来构造埃尔米特插值多项式。利用插值节点构造如下两类特殊的2n+1次多项式：'2⎧α()[12(xx=−−x)()](),lxlxiiiii⎨in=0

3、,1,L,,2⎩β()(xxx=−)(),lxiii其中，lxi(),0,1,,,=Ln是拉格朗日插值多项式的基函数。i可以验证，α()x和β()x具有性质：ii⎧1,ki=,'2α()[xx=−12(−x)()]()lxlx=⎨ikkiiiik⎩0,ki≠.'α()0.x=ikβ()0.x=ik⎧1,ki=,'β()x=⎨ik⎩0,ki≠.利用上述性质，构造埃尔米特插值多项式：nHx21ni+()=+∑[yxmxαβi()ii()]。i=0由于Hx()是α()x和β(),0,1,,,xin=L的线性组合，组合系数为21n+iiymi,,0=,1,,,Ln所以称α()x和β()x为埃

4、尔米特插值多项式的基函数，并把上iiii述求埃尔米特插值多项式的方法叫做构造基函数方法。例2.5.1设f()lnxx=。现已知f()x的下列数据：ff(1)==0,(2)0.693147,f′(2)=0.5.试用埃尔米特插值法计算f(1.5)的近似值。重点讲解基函数的构造和计算过程。2.5.2构造差商表的方法如果插值条件中不仅出现了一阶导数，还出现了高阶导数，那么利用构造差商表的方法十分有效。方法如下：（1）．在利用插值条件构造差商表时，把具有一阶导数要求的节点看成是二重节点（即两个节点），把具有二阶导数要求的节点看成是三重节点（即三个节点），以此类推。显然，在计算重合节点的差商时，

5、要利用公式1nf[,,,]xxLx=fx()iiiin!2（2）．根据所构造的差商表，按牛顿插值多项式的写法就能得到埃尔米特插值多项式。上述方法又称作推广的牛顿插值法。(2n+1)(2n+2)定理2.5.1假设f()x在[,]ab上连续，f()x在(,)ab内存在。Hx()是21n+满足插值条件（2.9）埃尔米特插值多项式，则对任何x∈[,]ab，插值余项1(2n+2)2R()xfxHx=−()()=f()ξπ()x（2.10）21nn++21n+1(2n+2)!其中ξ∈(,)ab依赖于x。§2.6分段低次插值法2.6.1龙格现象构造未知函数或复杂函数的插值多项式，并不是次数越高越好

6、。例2.6.1给定函数1f()xx=,1−≤≤12125+x取等距节点xi=−+1,hh=2，构造f()x的n次拉格朗日插值多项式，并画in出f()x和Lxn()(=4,10)的图象。n利用本例说明龙格现象。龙格现象说明前面介绍的插值方法未必收敛，即其截断误差并不一定随着n趋于无穷大而随之减小。2.6.2分段低次插值法最基本的分段低次插值是分段线性插值，就是通过相邻两个插值点作插值来构造分段插值多项式的。即在区间[,]xxi(1=,2,,)Ln上，有ii−1()ixx−iixx−−1f()xPx≈+()yy11ii−xx−−xxii−−11ii从几何上看，分段线性插值就是用连接插值

7、点的折线代替被插函数。因为每一段上的截断误差为i11221

8、()fxP−=

9、

10、f′′()(ξξxxxx−)(−≤)

11、

12、f′′()

13、(xx−)≤

14、f′′()

15、ξh11ii−−ii1288其中hx=−max

16、{x

17、}，所以只要f′′()x在插值区间上连续，且h→0时，那么ii−11≤≤in分段线性插值的截断误差趋于零，即分段线性插值法是一种收敛方法。如果还知道被插函数f()x在每个节点处的导数值m，那么我们就可以在区i3间[,]xxi(1=,2,,)Ln上构造