相关系数和协方差

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1、三．相关系数和协方差1．相关系数是二维随机变量，，。不一定有线性函数关系。例如：分别表示身高和体重，从某年龄男孩中任意挑选10名，测量他们的身高（厘米）和体重（公斤）得数据：身高157167165158155156164160158163体重46555246424549474449（1）回归直线关于的回归直线是满足条件的直线：其中，10=…所以，而（*），分别称为的标准差。（2）相关系数10定义：数值称为的相关系数。由（*）知，，∴对于有正的线性相关关系时，；对于有负的线性相关关系时，；对于没有线性相关关系时，.总之，①是否为0说明有没有线性相关关系；②的

2、符号说明线性相关关系的正负；③的大小说明线性相关关系的程度。10/*特别，由（*）知，，*/注意：（1）说明没有线性相关关系（不相关），不是说没有任何关系。例如：，，，，所以，，，∴（2）时，独立不相关，反之，不相关时未必有独立。证：若独立，则===0反之，时，未必独立。例如：有分布律，，10则有分布律由于，，所以，，不相关。但是，，不独立。例1：，则证：，，有，的相关系数10令，则所以，，即，时，不相关，且这时，所以独立。一般的，，则,，（的相关系数）10且独立。2．协方差（1）定义：是两个随机变量，若存在，则称它为的协方差，记作。==注：①时，./*令

3、ξ*，η*，则Dξ*=Dη*=1，cov(ξ*,η*)=E(ξ*η*)-Eξ*Eη*相关系数是“标准尺度下的”协方差*/②当时，不相关（2）协方差的性质①②若是常数，则证：10③独立，则；反之，,未必独立。证：独立，则若，，则，但不独立。④是常数，则证：=⑤证：=⑥证：===例1：，，，求。10解：例2：若，，则的相关系数证明：，，所以，例如：，则；10，则。例3：，，且不全为0，则服从正态分布。设，其中，=，===特别，独立时，,四．矩定义：是随机变量，是非负整数，称为的阶原点矩，称为的阶中心矩。例：若，则例如：，则，，，10