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1、概率论与数理统计作业班级姓名学号任课教师第四章随机变量的数字特征教学要求：一、理解随机变量数学期望和方差的概念，掌握数学期望和方差的性质与计算方法；二、了解0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望及方差；三、了解矩、协方差、相关系数的概念及性质，并会计算.重点：数学期望与方差的概念和性质.难点：相关系数．练习一一维随机变量的数字特征1.填空题（1）将三个球随机地放到5个盒子中去，则有球的盒子数的数学期望为61/25．（2）若随机变量的分布律且，则，．（3）设随机变量，且，则,．（4
2、）已知连续型随机变量的概率密度为，则1，1/2．（5）设随机变量表示10次重复独立射击命中目标的次数，且每次射击命中目标的概率为0.4，则．（6）设随机变量服从参数为的泊松分布，且已知，则1．2．在射击比赛中，每人射击4次，每次一发子弹，规定4弹全都不中得0分，只中一弹得15分，中2弹得30分，中3弹得55分，中4弹得100分．某人每次射击的命中率为0.6．求他期望得多少分？矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。解：设表示射击4次得的分数，则的所有可能取值为且,,,,9,所以3．设随机变量的概率密度为求．解：由于则4．已知随机
3、变量的概率分布律为：-2020.40.30.3.解：;;;.5．设随机变量X的概率密度为求（1）的期望；（2）的期望．9解：（1）（2）6．对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间内，求球的体积的均值．解：设球的直径为,球的体积为,则,且于是练习二二维随机变量的数字特征1.填空题（1）设随机变量相互独立，方差分别为6和3，则27．（2）设随机变量相互独立，，，则2．（3）设随机变量相互独立，且,则随机变量的概率密度=．（4）设随机变量与相互独立，且，服从参数为3的指数分布，则．（5）设二维随机变量的相关系数为
4、，与的方差分别为，，则61．2．设随机变量的概率密度为求9和．解：；；；。3．设随机变量相互独立,概率密度分别为求．解：由于随机变量相互独立,则.4.随机变量相互独立，并服从同一分布，数学期望为，方差为，求这些随机变量的算术平均值的数学期望及方差．解：由于随机变量相互独立，且，,…，9于是由性质得，.5．设连续型随机变量相互独立，且均服从求．解：设,由于相互独立，且均服从则也服从正态分布，且即～,于是.综合练习题1．甲乙两台机床生产同一种零件，在一天生产中的次品数分别记为，已知的概率分布分别下表所示．如果两台机
5、床的产量相同，问哪台机床较好？聞創沟燴鐺險爱氇谴净。01230.40.30.20.101230.30.50.20解：由于,则甲机床生产中的次品数的均值大于乙机床生产中的次品数，所以乙机床较好。2．已知随机变量的概率密度为，求及．解：，9.3．某人每次射击命中目标的概率都是0.8，现连续向一目标射击，直到第一次命中目标为止，求射击次数的期望．残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。解：设射击次数为,则的分布律为，…；其中.于是.（提示：利用求幂级数的和函数的方法求数项级数的和）4．设随机变量的概率密度为求，和．解：；；；；；.5．
6、设，求和．9解：由于及由条件知,,所以,.6.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日无故障，可获利润10万元，发生1次故障，仍可获5万元，发生2次故障获利0万元，发生3次或3次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？酽锕极額閉镇桧猪訣锥。解：设这部机器一周内有天发生故障，这一周的利润为万元。由题意知～,且所以.7.市场上对某商品需求量为，每售出1吨可得3万元，若售不出去而囤积在仓库中则每吨保养费1万元，问需要组织多少货源，才能使收益最大？彈贸摄尔霁毙攬砖
7、卤庑。解：设商品的货源量为,销售商品的收益为万元,依题意有9于是，由于令，得，且，所以当时，最大。8．设X，Y相互独立，证明：．证：因为由于X，Y相互独立，则,又,,于是.9．若随机变量的联合分布律为:9-101-11/81/81/801/801/811/81/81/8试证与既独立不也不相关．证：的边缘分布律为-101的边缘分布律为-101由于，如，所以与不相互独立。又,的所有可能取值为，且,,即的分布律为：-101则,于是,所以与不相关。9
