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1、正定矩阵及其应用Makingmatrixanditsapplication专业:信息与计算科学作者:指导老师:二○一二年五月岳阳摘要本文给出了若干充要条件；正定矩阵是一类特殊的矩阵,固然有它与其它矩阵不同的性质,所以给出了一些重要结论；本文还介绍了正定矩阵在分析中的应用；最后,还讨论了正定矩阵与柯西不等式、函数极值的关系.关键词:正定矩阵；充要条件；柯西不等式；函数极值IIAbstractThispaperprovidedseveralsufficientrequirements.Makingmatrixisakindofspecialmatrix
2、,thereisnodoubtthatithassomepropertiesdifferentfromothermatrix,soIhavegivesomeimportantconclusionswhichprovidedmyconclusion.Inpartfour,itintroducedtheanalysisoftheapplicationofmakingmatrix.AtlastthisthesisalsodiscussedtherelationbetweenMakingmatrix,Cauchyinequalityandfunctione
3、xtremum.Keywords:Makingmatrix;Sufficientrequirement;Cauchyinequality;FunctionextremumII目录摘要IABSTRACTII0引言11正定矩阵的等价定理12关于实对称正定矩阵的一些重要结论43正定矩阵与柯西不等式64在函数极值问题中的应用95小结116致谢11参考文献12第12页,共12页0引言矩阵的思想很早就已经有了,至少可以追溯到汉代中国学者在解线性方程组时的应用上.矩阵理论是数学的一个重要的分支,它不仅是一门基础学科,也是最具实用价值、应用广泛的数学理论.特别是正
4、定矩阵部分的应用很广泛[1-6],本文提供解决正定矩阵问题的方法并阐明它在实际中的应用. 1正定矩阵的等价定理判定一个矩阵是正定的,除了用定义外还可以运用一些与定义等价定理,以下给出了一些判定矩阵正定的充要条件.(1)正定矩阵的充要条件是的正惯性指数等于的维数.证明设二次型经过非退化实线性替换变成标准型(1.1)因为非退化实线性替换保持正定性不变,正定当且仅当(1.1)是正定的,而我们知道,二次型(1.1)是正定的当且仅当,即正惯性指数为.(2)是正定矩阵的充要条件是合同于单位矩阵.证明由正定矩阵的充要条件是：的正惯性指数等于的维数可知,正定二次
5、型的规范性为（1.2）因为二次型（1.2）的矩阵是单位矩阵,所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同.(3)阶实对称阵为正定的充要条件是存在可逆矩阵,使成立.证明必要性：若是正定矩阵,则与单位矩阵合同.即存在实可逆矩阵,使,即,记,即有,且是可逆矩阵.充分性：若,是实可逆矩阵,对,,则第12页,共12页,所以,是正定的.(4)阶实对称阵为正定的充要条件是个特征值全为正值.证明因为对任意的一个级实对称矩阵,都存在一个阶正交矩阵,使得成为对角矩阵.若为正定矩阵,一定为对称矩阵,故存在阶正交矩阵,使得,为正定矩阵当且仅当合同于单位矩阵,由矩阵合
6、同的传递性可知,,得证.(5)是正定矩阵的充要条件是的所有顺序主子式大于零.证明先证必要性.设二次型是正定的.对于每个,,令.我们来证是一个元的正定二次型.对于任意一组不全为零的实数,有.因此是正定的.由上面的推论,的矩阵的行列式,.这就证明了矩阵的顺序主子式全大于零.再证充分性.用数学归纳法.当时,,由条件显然有是正定的.假设充分性的论断对于元二次型已经成立,现在来证明元的情形.令,于是矩阵可以分块写成.既然的顺序主子式全大于零,当然第12页,共12页的顺序主子式也全大于零.由归纳法假定,是正定矩阵,换句话说,有可逆的级矩阵使,这里代表级单位矩阵
7、.令,于是.再令,有,令,就有.两边取行列式,.有条件,.显然.这就是说,矩阵与单位矩阵合同,因之,是正定矩阵,或者说,二次型是正定的.根据归纳法原理,充分性得证.(6)阶实对称阵为正定的充要条件是存在对称正定矩阵,使.证明必要性：存在正交阵,使其中记以及.(为的特征值).充分性：对任给,,(因为正定),所以正定.(7)是正定矩阵的充要条件是存在非退化的上(下)三角矩阵,使.证明不妨以下三角矩阵为例来证明,上三角矩阵的情况同理可证.必要性若是阶正定矩阵,则的任意阶主子式大于零.特别的,有.将的第列乘适当的倍数,分别加到第列上,再施同样的行变化,可使
8、第12页,共12页变成为的形式.即：存在非退化的下三角矩阵,使,再令,则,因为正定则作为的阶顺序主子式,也是正定的.对做同
