矩阵力学基础——力学量与算符

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1、第三章矩阵力学基础(I)—力学量和算符上一章，中我们系统地介绍了波动力学。它的着眼点是波函数。薛定谔从粒子的波动性出发，用波函数猫述粒子的运动状态。通过在波函数的运动方程中引入的方法进行量子化，在一定的边界条件下，求解定态薛定谔方程，证明对于束缚态，会出现量子化的、分立的本征谱。在本章和下一章中，我们将介绍另一种量子化的方案。它是海森伯（Heisenberg）、玻恩、约丹(Jordan)、坎拉克(Dirac)提出和实现的。着眼点是力学量和力学量的测量。他们将力学量看成算符。通过将经典力学运动方程中的坐标和动量都当作算

2、符的方法，引入和的对易关系.将经典的泊松括号改为量子的泊松括号，实现量子化。这种量子化，通常称为正则量子化。在选定了一定的“坐标系”或称表象后，算符用矩阵表示。算符的运算归结为矩阵的运算。本章将首先讨论力学量的算符表示和算符的矩阵表示，证实量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。在选取特定的表象即“坐标系”后，这些算符对应线性厄米矩阵。然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现。在矩阵力学中，算符的运动方程起着和波动力学中波函数的运动方程—薛定谔方

3、程—同样的作用。§3.1力学量的平均值在量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态.于是自然要问，所谓“确定”是什么意思，在什么意义下讲“确定”?在本章中我们将看到:所谓“确定”，是在能给出几率和求得平均值意义下说的。一般说来，当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值均以一定的概率出现。当给定描述这一运动状态的波函数后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。利用统计平均的方法，可以算

4、出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。例如处于基态的氢原子。其电子的坐标和动量不同时具有确定的数值。但电子坐标具有某一确定值的概率，或电子动量具有某一确定值的概率，却完全可由氢原子的基态波函数给出。相应地，坐标的平均值和动量的平均值也完全确定。既然一切力学量的平均值原则上均可由给出，而且这些平均值就是在所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下一般认为，波函数描写了粒子的运动状态。在§2.3讨论薛定愕方程时曾指出，力学量动量用算符来表示的对应关系是:28/28，动能是，定态薛定愕方程就是能量算符的本征

5、方程。现在问:这种力学量用算符来表示的对应关系，是否仅是一种类比，其中是否还存在着更深刻的物理内涵?另外，是否任何力学量，均可用算符表示?而且除能量算符外，其他算符是否也有相应的本征方程?如果一切力学量均可用算符表示的命题成立，其逆命题，即一切算符均对应力学量是否也成立?比方说，开方就是个算符，它是否也对应力学量?量子力学中能对应力学量的算符是否有某种限制?本章将回答这些问题。为此，先讨论力学量的平均值。对以波函数描述的状态，按照波函数的统计解释，表示在t时刻在中找到粒子的概率,因此坐标的平均值显然是(3.1.I)坐

6、标的函数的平均值是（3.1.2）这里已经假定，波函数满足归一化条件(2.1.6)式。现在讨论动量算符的平均值。显然,的平均值不能简单地写成因为只表示在中的概率而不代表在中找到粒子的概率。要计算，应该先找出在t时刻，在中找到粒子的概率按§2.2的讨论，这相当于对作傅里叶变换，而由公式（3.1.3）给出，动量的平均值可表示为（3.1.4）这里已经用了若归一，则也归一的结论。但是上面这种作法，却不但间接，而且麻烦。应该找出一种直接从计算动量平均值的方法。为此，我们先计算动量在方向的分量的平均值。由(3.1.4)式得28/2

7、8(3.1.5)利用公式(3.1.6)可将(3.1.5)式改写为(3.1.7)同理有(3.1.8)(3.1.9)由此得出结论:要在状态中求动量px、py、pz的平均值，只需以相应的微分算符、、，作用在上，然后乘以,再对全空间积分就可求得。将(3.1.7)、(3.1.8)及(3.1.9)式写成矢量式，得（3.1.10）记动量算符为(3.1.11)可将(3.1.10)式写成(3.1.12)同理，不难证实，当n为正整数时解的平均值可写成(3.1.13)同理还可给出对、的平均值。对于任何动量的解析函数，总可将按作泰勒展开并逐

8、项积分，然后利用平均值公式(3.1.12)和(3.1.13)式求得它的平均值，从而有(3.1.14)比方，动能的平均值是28/28(3.1.15)角动量的平均值是(3.1.16)(3.1.10)式表明:动量的平均值依赖于波函数的梯度。这正是波粒二象性的反映。按德布罗意关系(1.4.3)式，波长越短，动量越大。显然，若越大，则越短;因而动量的平均