矩阵力学基础--力学量和算符

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1、第三章矩阵力学基础——力学量和算符复旦大学苏汝铿第三章矩阵力学基础——力学量和算符本章目的：建立另外一套量子化的方案，即通过算符的对易关系进行正则量子化的方案研究量子力学中的算符的性质，特别是线性厄米算符讨论力学量的测量，特别是不确定性原理；以及力学量随时间的变化守恒律§3.1力学量的平均值问题：何谓波函数完全地描述了一个量子态？力学量用算符表示的实质是什么？为什么力学量可用算符表示？§3.1力学量的平均值坐标函数的平均值：§3.1力学量的平均值§3.1力学量的平均值§3.1力学量的平均值§3.1力学量的平均值§3.1力学量的平均值§3.1力学量的平均值结论：平均值公式§3.2算

2、符的运算规则定义§3.2算符的运算规则算符运算规则§3.2算符的运算规则§3.2算符的运算规则§3.2算符的运算规则§3.2算符的运算规则§3.2算符的运算规则§3.2算符的运算规则§3.2算符的运算规则§3.2算符的运算规则§3.2算符的运算规则§3.2算符的运算规则§3.2算符的运算规则§3.2算符的运算规则§3.2算符的运算规则算符的矩阵形式二维矢量空间§3.2算符的运算规则§3.2算符的运算规则§3.2算符的运算规则§3.2算符的运算规则§3.2算符的运算规则§3.2算符的运算规则结论：体系的一个量子态希尔伯特空间中一个向量给定一组基矢，即给定一个表象，量子态波函数一

3、个算符一个矩阵§3.3厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的引入§3.3厄米算符的本征值和本征函数§3.3厄米算符的本征值和本征函数§3.3厄米算符的本征值和本征函数§3.3厄米算符的本征值和本征函数§3.3厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的性质厄米算符的平均值是实数(充分性)§3.3厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的平均值是实数(必要性)§3.3厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的平均值是实数(必要性)§3.3厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的本征值为实数§3.3厄米算符的本征值和本征函数厄米算符属于不同本征值的本征函数正交§3.3厄米算符的本征值和本征函数§3.3厄米算

4、符的本征值和本征函数厄米算符的简并本征函数经重新组合后可以正交归一§3.3厄米算符的本征值和本征函数§3.3厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的本征函数有完备性§3.3厄米算符的本征值和本征函数厄米算符的本征函数有封闭性§3.3厄米算符的本征值和本征函数§3.3厄米算符的本征值和本征函数结论厄米算符的本征函数系：正交、归一、完备、封闭厄米算符的本征值、平均值均为实数量子力学中的力学量对应线性厄米算符§3.4连续谱本征函数线性厄米算符的本征函数示例§3.4连续谱本征函数§3.4连续谱本征函数§3.4连续谱本征函数连续谱本征函数归一化无穷空间：归delta函数，连续谱箱归一化：引入周

5、期性边界条件，分立谱§3.4连续谱本征函数周期性边界条件§3.4连续谱本征函数§3.4连续谱本征函数§3.4连续谱本征函数§3.4连续谱本征函数§3.4连续谱本征函数§3.5量子力学中力学量的测量值在F的本征态中测量F有准确值§3.5量子力学中力学量的测量值§3.5量子力学中力学量的测量值在非F的本征态中测量F，有可能值及平均值§3.5量子力学中力学量的测量值不同力学量同时有确定值的条件若[F,G]=0必有共同本征函数系充要条件有简并时可重新组合§3.5量子力学中力学量的测量值注意：如果F和G不对易，必无共同本征函数系，但不排除在某些特殊态中测量时有确定值，例如Lx和Ly不对易

6、，但在中测量Lx,Ly均得到零§3.5量子力学中力学量的测量值完全集如{px,py,pz},{H,L^2,Lz}等等简并来自不完全测量§3.6不确定性原理问题：若算符A,B不对易，在A本征态中测A有确定值，测B如何?在非A，非B的本征态中测A及B，结果如何?§3.6不确定性原理§3.6不确定性原理§3.6不确定性原理§3.6不确定性原理§3.6不确定性原理讨论：不确定性原理是波粒二象性的反映，与是否测量无关单缝衍射实验零点能§3.6不确定性原理§3.6不确定性原理§3.6不确定性原理§3.6不确定性原理角动量算符§3.6不确定性原理互补原理及其哲学探讨§3.7力学量随时间的变化、

7、守恒量和运动积分算符的运动方程式§3.7力学量随时间的变化、守恒量和运动积分§3.7力学量随时间的变化、守恒量和运动积分§3.7力学量随时间的变化、守恒量和运动积分§3.7力学量随时间的变化、守恒量和运动积分若F不显含t，且[F,H]＝0，则F守恒守恒量在任何态下的平均值与t无关在任何态下，测F可能值，出现各种可能值的几率分布与t无关若t＝0时，F有确定值t＝t时也有确定值若t＝0时，F无确定值t＝t时也无确定值守恒量对应好量子数若F与G不对易，且F、G均为守恒量能级简并