9.6空间向量和其运算（B）

《9.6空间向量和其运算（B）》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、9.6空间向量及其运算（B）●知识梳理空间两个向量的加法、减法法则类同于平面向量，即平行四边形法则及三角形法则.a·b=

2、a

3、

4、b

5、cos〈a，b〉.a2=

6、a

7、2.a与b不共线，那么向量p与a、b共面的充要条件是存在实数x、y，使p=xa+yb.a、b、c不共面，空间的任一向量p，存在实数x、y、z，使p=xa+yb+zc.●点击双基1.在以下四个式子中正确的有a+b·c，a·（b·c），a（b·c），

8、a·b

9、=

10、a

11、

12、b

13、A.1个B.2个C.3个D.0个解析：根据数量积的定义，b·c是一个实数，a+b·c无意义.实数与

14、向量无数量积，故a·（b·c）错，

15、a·b

16、=

17、a

18、

19、b

20、

21、cos〈a，b〉

22、，只有a（b·c）正确.答案：A2.设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是A.{a+b，b－a，a}B.{a+b，b－a，b}C.{a+b，b－a，c}D.{a+b+c，a+b，c}解析：由已知及向量共面定理，易得a+b，b－a，c不共面，故可作为空间的一个基底，故选C.答案：C3.在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，向量、、是A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量解析：∵－==，∴、、共面.答案：C

23、4.已知a=（1，0），b=（m，m）（m＞0），则〈a，b〉=_____________.答案：45°5.已知四边形ABCD中，=a－2c，=5a+6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则=_____________.解析：∵=++，又=++，两式相加，得2=（+）+（+）+（+）.∵E是AC的中点，故+=0.同理，+=0.∴2=+=（a－2c）+（5a+6b－8c）=6a+6b－10c.∴=3a+3b－5c.答案：3a+3b－5c●典例剖析【例1】证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：

24、对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得=x+y+z.剖析：要寻求四点A、B、C、D共面的充要条件，自然想到共面向量定理.解：依题意知，B、C、D三点不共线，则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得=+x1+y1=+x1（－）+y1（－）=（1－x1－y1）+x1+y1，取x=1－x1－y1、y=x1、z=y1，则有=x+y+z，且x+y+z=1.特别提示向量基本定理揭示了向量间的线性关系，即任一向量都可由基向量唯一的线性表示，为向量的坐标表示奠定了基础.共（

25、线）面向量基本定理给出了向量共（线）面的充要条件，可用以证明点共（线）面.本题的结论，可作为证明空间四点共面的定理使用.【例2】在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离.解：如下图，因为∠ACD=90°，所以·=0.同理，·=0.因为AB与CD成60°角，所以〈，〉=60°或120°.因为=＋＋，所以2=2＋2＋2＋2·＋2·＋2·=2＋2＋2＋2·=3＋2×1×1×cos〈，〉=4（〈，〉=60°），2（〈，〉=120°）.所以｜｜=2或，即B

26、、D间的距离为2或.【例3】在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于点E，求证：（1）BD1⊥平面ACB1；（2）BE=ED1.证明：（1）我们先证明BD1⊥AC.∵=++，=+，∴·=（++）·（+）=·+·=·－·=

27、

28、2－

29、

30、2=1－1=0.∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥AB1，于是BD1⊥平面ACB1.（2）设底面正方形的对角线AC、BD交于点M，则==，即2=.对于空间任意一点O，设=b，=m，=b1，=d1，则上述等式可改写成2（m－b）=d1－b1或b1+2m=d1+2b.记==

31、e.此即表明，由e向量所对应的点E分线段B1M及D1B各成λ（λ=2）之比，所以点E既在线段B1M（B1M面ACB1）上又在线段D1B上，所以点E是D1B与平面ACB1之交点，此交点E将D1B分成2与1之比，即D1E∶EB=2∶1.∴BE=ED1.思考讨论利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直、线线平行、四点共面、求长度、求夹角等问题.●闯关训练夯实基础1.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若=a，=b，=c，则下列式子中与相等的是A.－a+b+cB.a+b+cC.a－b+cD.－a－b+c解析

32、：=+=+（+）=－+=c－a+b，故选A.答案：A2.O、A、B、C为空间四个点，又、、为空间的一个基底，则A.O、A、B、C四点不共线B.O、A、B、C四点共面，但不共线C.O、A、B、C四点中任意三点不共线D.O、A、B、C四点不共面解析：由基底意义，、、三个向量不共面，但A、B、C