9.6 空间向量的坐标运算

《9.6 空间向量的坐标运算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、9.6空间向量的坐标运算9．6　空间向量的坐标运算学法导引　1．向量坐标的确定、夹角公式、距离公式的运用是本节的难点．　要确定向量坐标，就必须选取直角坐标系，为了使所得点的坐标方便计算和证明，一定要分析空间几何体的构造特征．选上面合适的点作原点，合适的线和方向作坐标轴．其次要灵活运用平面几何的知识、直线与平面的知识来找出“点”的坐标．坐标原点常选在汇集多个垂直关系的点上．　2．空间向量的坐标运算类似于平面两向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键．这些公式为我们用向量的知识解决立体几何问题提供了有力的工具．　空间两向量的夹角公式类似于平面两

2、向量的夹角公式．如果我们将一个空间几何体放入一个适当的空间直角坐标系，那么我们就可用这个公式来方便地计算几何体上的“线线”夹角了．　空间两点间距离公式是空间向量模长公式的推广，其形式类似于平面上两点的距离公式，如果知道一个空间几何体上任意两点的坐标，我们就可直接套用．　应该指明，上述两公式都与坐标原点的选取无关．因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离是固定的．坐标系的建立位置不同，只不过会影响其计算的简繁而已．　3．常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间的距离

3、．知识要点精讲　知识点1　空间直角坐标系　如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常常用{i，j，k}来表示．以点O为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴．这时就建立了一个空间直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i、j、k叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面．　在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y

4、，z)，其中x叫做点A的横向坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．　知识点2　向量的直角坐标运算　一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．　知识点3　夹角和距离公式　知识点4　向量和平面垂直　如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α．　知识点5　法向量　如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．　注意　1．本节课涉及几何量的代数运算、夹角公式和两点间距离公式的应用．易出现计算不准确而导致结论错误．　2．易忽略向量坐标的表达形式a＝(x，y，z)，在实际解

5、题中有很多同学忽略了“＝”，与点坐标(x，y，z)混淆．解题方法、技巧培养　出题方向1　空间向量的坐标运算　例1　若a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)．　(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k．　(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k．　[分析]　利用向量的坐标运算及向量共线和垂直的充要条件解题．　[解]　(1)ka＋b＝(k－2，5k＋3，－k＋5)，　a－3b＝(1＋3×2，5－3×3，－1－3×5)　＝(7，－4，－16)．　例2　已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，求满足下列条件的点D的坐标：　(1

6、)DB∥AC，DC∥AB；　(2)DB⊥AC，DC⊥AB且AD＝BC．　[解]　设点D坐标为(x，y，z)　点拨　求点的坐标首先应将条件中的线或线段关系转化为向量间的关系，然后再坐标化，问题(1)中若一个向量的某坐标为零，则另一个向量的相应坐标也为零．　出题方向2　夹角与距离公式的应用　[分析]　应用模长公式及向量的夹角公式解决此问题．　例4　已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．(2)向量a由横坐标、纵坐标、竖坐标值决定，我们需要找到三个方程，列一个方程组才能求得，依题意这是容易办到的．　点拨　在前面例2、

7、例3解题中都通过了列方程、解方程来求得结果，我们要注意这种思路．实际上，方程的思想在解空间向量的题目中有着广泛的应用．　出题方向3　空间直角坐标系的应用　[分析]　本题考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算．　[解]　(1)以C为原点O，建立如图9－6－1的空间直角坐标系O－xyz，则由已知得：这种转化思想是数学上一重要思想，望同学们学会并善于应用．易错易混点警示　本节易错易混点主要在于对题目给出的条件关注不够而出错．　(1)当

8、c

9、取最小值时，求t的值；　(2)在(1)的情况下，求b和c的夹角大小．　[错解]　(1)c＝(－1，1，

10、3)＋t(1，0，－2)＝(－1＋t，1，3－2t)．　[错因分析]　题设中关于x的方程有两实根，应考虑t的限制，而不是t∈R．　点拨　本例出错，在于对条件关注不够，暗自增加了条