以圆为背景的最值问题

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1、以圆为背景的最值问题黄丽生以圆为背景的最值问题，在高考和竞赛中频频出现。本文从数学思想方法的高度予以分类导析，旨在探索解题规律，总结解题方法，从而使此类问题简单化。1.向量法例1.已知圆和圆内一点。当点P沿圆周运动时，求∠MPO的最大值和此时点P的坐标。分析：本题以直线与圆为载体，综合考查函数及其最值、不等式等有关知识。解题的关键是巧用向量工具建立三角函数，从而使问题简化。解：如图1，设，则显然，所以5当且仅当即或时，cos∠MPO有最小值。所以∠MPO的最大值为，此时点或2.轨迹法例2.如图2，从⊙C：外一点向圆作切线PT，T是切点，且（O为原点），求的最小值及此时点P的坐标

2、。分析：本题对思维的要求较高，具有一定的综合性和创新性。巧思妙解的关键是抓住问题的本质，即求点P的轨迹，而使问题清晰可解。解：设由题意知，PT切⊙C于T所以故即P点轨迹是直线5要满足最小，即最小由点到直线距离公式，得：因为过点O且垂直于直线的直线方程为由得：3.参数法例3.已知，P为⊙O：上的一点，求的最大值和最小值及对应的点P的坐标。分析：本题可将距离的平方和表示成参数的形式，进而求解。如将距离的平方和表示成x或y的函数，则运算较难。解：由P在⊙O上，可设（为参数）则有（其中）当时，此时所以5所以当时，所以4.数形结合法例4.求函数的值域。分析：有些代数问题隐含着“圆”背景，

3、如能将代数问题进行图形表示，常能使问题化繁为简，达到事半功倍之效。解：观察其几何意义，可构建圆和则的圆心，半径的圆心，半径两圆内切于点设点分别在上，且MN垂直于x轴由图3可知：且所以的值域为［0，8］。5.函数（或方程）法例5.设是一个常数，过点的直线与抛物线5交于相异两点A、B。以线段AB为直径作圆H（H为圆心）。试证抛物线顶点在圆H的圆周上。并求圆H的面积最小时直线AB的方程。（04年重庆市高考理科第21题）分析：本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，同时考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力。解：如图4，由题意，直线AB不可能是水平线，设直线AB的方程为设，则其满

4、足消x得：由此得：所以即OA⊥OB故O必在圆H上又由题意，知圆心是AB的中点所以OH是圆H的半径，且因此，当时，圆H的半径OH最小，圆H的面积最小，此时直线AB方程为。5