《周髀算经》中勾股定理的公式与证明

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1、《周髀算经》中勾股定理的公式与证明　　首先，《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为句，日高为股，句股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（《周髀算经》上卷二）　　而勾股定理的证明呢，就在《周髀算经》上卷一[2]——　　昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”　　商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积

2、矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”　　周公对古代伏羲（包牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。　　“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”：解释发展脉络——数之法出于圆（圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）。　　“故折矩①，以为句广三，股修四，径隅五。”：开始做图——选择一个

3、勾三（圆周率三）、股四（四方）的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。　　“②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”：这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有边长三勾方、边长四股方、边长五弦方三个正方形。　　“两矩共长③二十有五，是谓积矩。”：此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是大正方形减去右

4、上、左下两个长方形面积后为勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出四个三角形面积等于右上、左下两个长方形面积，所以勾方+股方=弦方。下载(33.54KB)2009-12-1400:02　　注意：　　①矩，又称曲尺，L型的木匠工具，由长短两根木条组成的直角。古代“矩”指L型曲尺，“矩形”才是“矩”衍生的长方形。下载(48.4KB)2009-12-1400:02　　②“既方之，外半其一矩”此句有争议。清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”，而之前版本多为“既方之外半其一矩”。经陈良佐[3]、李国伟[4]、李继闵[5]

5、、曲安京[1]等学者研究，“既方之，外半其一矩”更符合逻辑。　　③长指的是面积。古代对不同维度的量纲比较，并没有发明新的术语，而统称“长”。赵爽注称:“两矩者,句股各自乘之实。共长者,并实之数。　　由于年代久远，周公弦图失传，传世版本只印了赵爽弦图（造纸术在汉代才发明）。所以某些学者误以为商高没有证明（只是说了一段莫名其妙的话），后来赵爽才给出证明。　　其实不然，摘录赵爽注释《周髀算经》时所做的《句股圆方图》[2]——“句股各自乘,并之为弦实,开方除之即弦。案:弦图又可以句股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以句股之差自相乘为

6、中黄实,加差实亦成弦实。”　　注意“案”中的“弦图又可以”、“亦成弦实”，“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明，于是他给出了新的证明。下载(47.35KB)2009-12-1400:02赵爽弦图。注意中间的中黄实参考资料：1.曲安京:商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明.刊於《数学传播》20卷,台湾,1996年9月第3期,20-27页。2.周髀算经,文物出版社,1980年3月,据宋代嘉定六年本影印,1-5页。3.陈良佐:周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系.刊於《汉学研究》,1989年第7卷第1

7、期,255-281页。4.李国伟:论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章.刊於《第二届科学史研讨会汇刊》,台湾,1991年7月，227-234页。1.李继闵:商高定理辨证.刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第1期,29-41页。