孪生素数有无穷多对的证明

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1、无理数论关于孪生素数有无穷多对的证明论题：有多少对相邻的奇数都是素数，如：3和5，5和7，11和13，17和19，29和31，···这样相距为2的一对素数，称为孪生素数。孪生素数是否有无穷多对呢？我的结论是孪生素数有无穷多对，并予以证明。一、假素数(一)素数有无穷多个用自然数n表示素数从小到大的顺序，用Pn表示这种有顺序的素数，即P1=2，P2=3，P3=5，P4=7，···将不大于素数Pn的素数组成的集合，记作In，In={2，3，5，7，···Pn}。将不大于Pn的所有素数之积，记作Tn,Tn=2×3×5×7×···×Pn定义一假素数：若某自然数不是任意一个不大于Pn的素数的倍数，将此自然

2、数称作Pn的假素数。Pn的假素数记作An现用d表示整倍数的意思。现用Gn表示不大于Pn的素数，即In={Gn}根据定义，x∈{An}（x∈N）的充要条件是x≠Gnd因为1不是任何素数的倍数，故它是任何一个素数Pn的假素数。Pn的假素数和素数的区别,Pn假素数里面不包含不大于Pn的素数，却包含了大于Pn的素数。在这里引进假素数的概念，研究假素数的性质，，以及相互联系，是为了更好的研究素数的性质。(二)假素数保持定理定义二保持部：将整个自然数列，以Tn为单位长，从小到大逐一划分成无穷多个首尾相连的单元，将这样的单元，称作Pn的保持部。（h－1）Tn是Pn的第h个保持部的首端，（h－1／2）Tn是其

3、中点，hTn8无理数论是尾端。定理（一）假素数保持定理：素数Pn的假素数，在其任意两个保持部里个数相等且分布一致。所谓分布一致，是指两个保持部里，其假素数一一对应，且每对对应的假素数与其首端的距离相等。换成精确的数学语言，在Pn的任意一个保持部里的任意一个假素数，设与其首端的距离为y(y＜Tn,且y∈N)，即（h－1）Tn＋y∈{An},如果在Pn的另外任意一个保持部里，与其首端为y的数,(h′－1）Tn＋y∈{An}也成立，则Pn的假素数在其任意两个保持部里分布一致。因为1是人任意素数Pn是假素数，因为hTn＋1≠Gnd故hTn＋1∈{An},所以，Pn的任意一个保持部里，至少有一个假素数。

4、证明:在Pn的任意一个保持部的任意一个假素数（h－1）Tn＋y，即（h－1）Tn＋y∈{An},那么，（h－1）Tn＋y≠Gnd,在Pn的另外任意一个保持部里，与其首端的距离为y的数（h′－1）Tn＋y,现假设（h′－1）Tn＋y＝Gnd′,（h－1）Tn＋y＝（h′－1）Tn＋y－（h′－h）Tn＝Gn〔d′－（h′－h）Tn／Gn〕,因为Tn／Gn是整数，故（h－1）Tn＋y＝Gnd，与已知（h－1）Tn＋y≠Gnd相矛盾。所以（h′－1）Tn＋y≠Gnd′，那么（h′－1）Tn＋y∈{An}综上所述，Pn的假素数在其任意两个保持部里分布一致，显然，个数必定相等。定理得证。选一自然数m,满

5、足m＜Tn现将整个自然数列以m为起点，以Tn为单位长，逐一划分成无穷多个首尾相连的单元，将这样的单元，称作Pn的平移m保持部。定理(二)假素数平移保持定理：素数Pn的假素数，在其任意两个平移m保持部里，个数相等，且分布一致。与假素数保持定理同理可证。Pn的一个保持部里的假素数个数，记作En一、筛数及筛数定理定义三筛数：若某自然数是Pn的假素数，而不是Pn＋1假素数，将此数称作Pn的筛数，记作Bn由定义可得，x∈{Bn}，（x∈N）的充要条件是x∈{An},但x≮{An＋1}（注：≮是不属于符号）由x∈{An}可得x≠Gnd由x≮{An＋1}可得x＝Gn＋1d又因为In＋1＝Pn＋1∪In故x≠

6、Gnd，且x＝Pn＋1d那么，x∈{Bn}的充要条件是x≠Gnd，且x＝Pn＋1d定理（三）筛数定理：素数Pn的任意一个筛数除以Pn＋1所得到的商是Pn的假素数；Pn的任意一个假素数乘以Pn＋1所得到的积是Pn的筛数。此定理的数学表达式:(1)AnPn＋1∈{Bn}；（2）Bn／Pn＋1∈{An}证明之前，先研究假素数的性质。假素数的积性质Pn的假素数乘以大于Pn的任意一个素数8无理数论或者它们中数个之积所得到的积仍是Pn的假素数。大于Pn的素数或者它们中数个之积所组成的集合记作Cn其数学表达式为若x∈{Cn}，那么xAn∈{An}证明：因x∈{Cn}，故x的质因子中不包含不大于Pn的素数，又

7、因An≠Gnd，故xAn≠Gnd那么xAn∈{An}假素数的商性质Pn的假素数除以一个整数所得到的商，若仍是整数，那么这个商是Pn的假素数。其数学表达式若x∈N，且An／x∈N,那么An／x∈{An}证明：由An≠Gnd，x∈N可得An／x≠Gnd又因An／x∈N，故An／x∈{An}筛数定理的证明:(1)因Pn＋1∈{Cn}，根据假素数的积性质，AnPn＋1∈{An}故AnPn＋1∈{Bn}（2