数值分析复习资料

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1、数值分析复习资料一、重点公式第一章非线性方程和方程组的数值解法1）二分法的基本原理，误差：2）迭代法收敛阶：，若则要求3）单点迭代收敛定理：定理一：若当时，且，，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设满足：①时，，②则对任意初值迭代收敛，且：定理三：设在的邻域内具有连续的一阶导数，且，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设在根的邻域内充分可导，则迭代格式是P阶收敛的ó（Taylor展开证明）4）Newton迭代法：，平方收敛5）Newton迭代法收敛定理：设在有根区间上有二阶导数，且满足：①：；②：；③：④：初值使得；则Newton迭代法收敛于根。6）多点迭

2、代法：收敛阶：7）Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改①：已知根的重数r，（平方收敛）②：未知根的重数：，为的重根，则为的单根。8）迭代加速收敛方法：当不动点迭代函数在的某个邻域内具有二阶导数，平方收敛9）确定根的重数：当Newton迭代法收敛较慢时，表明方程有重根10）拟Newton法其中11）秩1拟Newton法：Broyden秩1方法第二章线性代数方程组数值解法1）向量范数：①：非负性：，且的充要条件是；②：齐次性：③：三角不等式：1范数：2范数：范数：p范数：2）矩阵范数：①：非负性：，且的充要条件是；②：齐次性：

3、③：三角不等式：④：乘法不等式：F范数：1范数：，列和最大范数：，行和最大2范数：，其中，为的特征值，3）Gauss消元法（上三角阵）：；Gauss-Jordan消元法（对角阵）：；列选主元消元法：在消元之前进行行变换，将该列最大元素换置对角线主元位置；（可用于求逆矩阵）全选主元消元法：全矩阵搜索矩阵最大元素进行行变换和列变换至其处于对角线主元位置；4）三角分解法：①：Doolittle分解法：A=LU，L单位下三角阵，U上三角阵②：Crout分解法：A=LU，L下三角阵，U单位上三角阵③：Cholesky分解法：A对称正定，，L为单位下三角阵④：改进的C

4、holesky分解法：A对称正定，，L为单位下三角阵，D为对角阵⑤：追赶法：Crout分解法解三对角方程5）矩阵的条件数，谱条件数：6）如果，则为非奇异阵，且7）迭代法基本原理：①：迭代法：②：(ó，迭代格式收敛)③：至少存在一种矩阵的从属范数，使8）Jacobi迭代：9）Gauss-Seidel迭代：10）超松弛迭代法11）二次函数的一维搜索：12）最速下降法：选择方向进行一维搜索：，其中13）共轭梯度法：第一步：最速下降法，，，第二步：过选择的共轭方向，其中，过以为方向的共轭直线为，进行二次函数的一维搜索14）一般的共轭梯度法：第三章插值法与数值逼近1

5、）Lagrange插值：，余项：2）Newton插值：差商表余项3）反插值4）Hermite插值（待定系数法）其中余项：5）分段线性插值：插值基函数：余项：分段余项6）有理逼近：反差商表有理逼近函数式：7）正交多项式的计算：定理：在上带权函数的正交多项式序列，若最高项系数唯一，它便是唯一的，且由以下的递推公式确定其中定理3.88）连续函数的最佳平方逼近：在上，法方程为，其中，均方误差：最大误差：9）离散函数的最佳平方逼近（曲线的最小二乘拟合）：法方程其中第四章数值积分1）代数精度的概念及应用：对r次多项式的精确成立，以及代入法求解系数。2）Lagrange

6、插值代入Lagrange插值基函数，其中误差：定理：数值积分公式具至少有n次代数精度ó其是差值型的3）等距节点的Newton-Cotes公式将拉格朗日差值积分公式中的差值节点即可，其中；，令（Cotes系数）则：N-C公式的数值稳定性：当同号时是稳定的，否则不稳定，（其中）N-C公式至少具有n次代数精度，若n为偶数，则其代数精度可提高到n+1次；余项：当n为偶数时，当n为奇数时，4）复化的N-C公式复化的梯形公式：将积分区间n等分，然后在每个区间上应用梯形公式复化的Simpson公式：将积分区间n等分，然后在每个区间上应用Simpson公式5）Romber

7、g积分法逼近的阶为6）求积节点为n+1的机械求积公式的代数精度<=2n+1；7）Gauss求积公式在[a，b]上与所有次数<=n的多项式带权正交ó上式为Gauss求积公式、8）Gauss-Legendre求积公式给出公式：、、······给出区间[1,-1]上的求积公式，取的零点为求积节点①取零点为0②取零点为对于区间[a,b]上的Gauss求积公式，令，，则：余项：第五章乘幂法1）基本定理：定理一：若为A的特征值，为某一多项式，则矩阵的特征值是。特别地，的特征值是。定理二：如果A为实对称矩阵，则A的所有特征值均为实数，且存在n个线性无关的特征向量；不同特

8、征值所对应的特征向量正交。定理三：设A与B为相似矩阵，即存在非奇异