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1、数值分析期末复习题型：一、填空二、判断三、解答（计算）四、证明第一章误差与有效数字一、有效数字1、定义:若近似值X*的误差限是某一位的半个单位，该位到X*的第一位非零数字共有n位，就说X*有n位有效数字。2、两点理解：（1）四舍五入的一定是有效数字（2）绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg.’v丄灯0・（心）3、定理1（P6）：若x*具有n位有效数字，则其相对误差限为6-莎%4、考点：（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3）二、避免误差危害原则1＞原则：（1）避免大数吃小数（方法：从
2、小到大相加；利用韦达定理：xl*x2=c/a）（2）避免相近数相减（方法：有理化）eg.7777=£—；（、JX+£+y[xln（x+^）-In%=In1+-;1-Cos%=2sin2-或（3）减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg・P20习题14三、数值运算的误差估计1、公式：（1）一元函数:
3、^*（/（x*））
4、«
5、//（x*）
6、-
7、£*（x）
8、或其变形公式求相对误差（两边同时除以/（%*））eg.P19习题1、2、5（2）多元函数（P8）eg.P8例4,P19习题4第二章插值法一、插值条件1＞定义:在区间［a,
9、b］上,给定n+1个点，aWxoVx^V…VxnWb的函数值yi=f(xi),求次数不超过n的多项式P(x),使Pg=y.i=0,1,2,…，/?2、定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数Wn的P(x)存在且唯一二、拉格朗日插值及其余项1＞n次插值基函数表达式(P26(2.8))2、插值多项式表达式(P26(2.9))3、插值余项(P26(2.12))：用于误差估计4、插值基函数性质(P27(2.17及2.18))eg.P28例1三、差商(均差)及牛顿插值多项式1＞差商性质(P3O)：(1)可表示为函数
10、值的线性组合(2)差商的对称性：差商与节点的排列次序无关(3)均差与导数的关系(P31(3.5))2、均差表计算及牛顿插值多项式例：已知x=1,4,9的平方根为1,2,3,利用牛顿基本差商公式求尸的近似值。E(.V)=1+O・33333(jv—1)—0.0166(.v—l)(.v—1)咽此计算得、厅的近似值为马(7)=2.69992.（1）分段函数，每段都是三次多项式（2）在拼接点上连续（一阶、二阶导数均连续）⑶Sg）二儿J=考点：利用节点函数值、导数值相等进行解题第三章函数逼近与曲线拟合一、曲线拟合的最小二乘法解
11、题思路：确定0,解法方程组，列方程组求系数（注意©应与系数一一对应）eg.P95习题17形如y=aebx解题步骤：（1）线性化（2）重新制表（3）列法方程组求解（4）冋代第四章数值积分与数值微分一、代数精度1、概念:如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式准确成立,但对于m+1次多项式不准确成立,则称该求积公式具有m次代数精度2、计算方法：将f（x）=l,x,x2,-xn代入式子求解eg.PlOO例1二、插值型的求积公式J：f（x）dx=£（『lk（x）dxj（Xk）（町其中Ux）北匕乞为Lagrange插值基函数
12、.b泸f求积系数Ak=Jalk（x）dx定理：求积公式至少具有n次代数精度的充要条件是：它是插值型的。三、牛顿•科特斯公式1、掌握科特斯系数的情况即可（P104表4・2）,性质：和为1,对称性2、定理：当n为奇数时，牛顿■柯斯特公式至少有n次代数精度；当阶n为偶数时，牛顿■科特斯公式至少具有n+1次代数精度h—（13、在插值型求积公式中求积节点取为等距节点，即xk=a+khji=——-,k=0,1,2,....no则可n构造牛顿■柯斯特求积公式：/产(b-a)》cr/g),cr)=k=0Knn;(i/lRnnj圭
13、kj*k4、n=l[I寸、n=2时,求积公式为梯形公式:J7⑴如岂0［/（d）+/（b）［a一求积公式为辛普森公式：f（x）dx^^^-a6求积公式为柯特斯公式：0°）［7/（兀o）+32于（召）+12/（兀2）+32/（兀3）+7于（兀J］+/3)n=4吋，h"⑴如90a低阶求积公式的余项：梯形公式：Rt=一~（b-匕丫/"（〃）,〃w［a.b］12辛普森公式：傀=_与黑］筈纟］于⑷（〃）,〃€［⑦切1oU27柯特斯公式：Rc=——[-—]f⑹[⑦列c945(4丿I丿l」5、复合梯形公式及余项(P106)Tn
14、/(a)+2£/("J+/(b)Rn(f)=I-Tn=^一~胪厂(久)《w(习+%i)乙k="01乙6、复合辛普森公式及余项(P107)s£/(a)+4f/(%%)+2£/(忑)+/(b)°LA=0k=_n-U_q/仿、°==丄-而-广(久)，〃工(耳+林+jk=01oUVZ7四、高斯型求积公式（书P117-120）1>定义：如果求积公式具有2n+l次
