现代信号处理方法

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1、1.3时频分布及其性质1.3.1　单分量信号与多分量信号从物理学的角度看，信号可以分为单分量信号和多分量信号两类，而时－频分布的一个主要优点就是能够确定一个信号是单分量的还是多分量的。所谓单分量信号就是在任一时间只有一个频率或一个频率窄带的信号。一般地，单分量信号看上去只有一个山峰（如图1.2.2），图中所示的是信号的时－频表示，在每一个时间，山峰的峰值有明显的不同。如果它是充分局部化的，那么峰值就是瞬时频率；山峰的宽度就是瞬时带宽。一般地，如果是信号的解析信号，是对应的频谱，图1.2.2　单分量信号时－频表示及其特征则其瞬时频率定义如下：　　　　　　　　　　　（1

2、.2.1）与瞬时频率对偶的物理量叫做群延迟，定义如下：　　　　　　　　　　　　　　　（1.2.2）而多分量信号是由两个（或多个）山峰构成,每一个山峰都有它自己不同的瞬时频率和瞬时带宽。（如图1.2.3所示）。图1.2.3　多分量信号时－频表示及特征1.3.2　时－频分布定义Fourier变换的另一种形式　　　　　　　指出，尽管信号的时－频分布有许多形式，但不同的时－频分布只是体现在积分变换核的函数形式上，而对于时－频分布各种性质的要求则反映在对核函数的约束条件上，因此它可以用一个统一形式来表示，通常把它叫做类时－频分布，连续时间信号（为连续时间信号的解析信号）的Co

3、hen类时－频分布定义为（1.3.1）式中称为核函数。原则上，核函数可以是时间和频率两者的函数，但常用的核函数与时间和频率无关，只是时延和频偏的函数，即核函数具有时、频移不变性。这个定义提供了全面理解任何一种时－频分析方法的通用工具，而且能够在信号分析中将信号的一种时－频表示及其性质同另一种时－频表示及其性质联系在一起。进一步可将（1.3.1）简记为　　（1.3.2）式中是双线性变换（双时间信号）关于时间作反变换得到的一种二维时－频分布函数，称为模糊函数，即　　　　　（1.3.3）因为类时－频分布是以核函数加权的模糊函数的二维变换，所以类时－频分布又称为广义双线性时

4、－频分布。两个连续信号，的互时－频分布定义为：　　　　　（1.3.4）式中　　（1.3.5）是和的互模函数。两个信号之和的时－频分布定义为：（1.3.6）1.3.3　核函数及其特性在时－频分布定义中用核函数来表征信号的时－频分布有三个主要优点：首先，通过核函数的约束可以得到并研究具有确定特性的分布；其次，时－频分布的特性可以很容易地通过考察核函数来确定；最后，对于给定的核函数，可以很容易求得信号的时－频分布。在（1.3.1）中若取核函数，则该定义式就退化为一种重要的时－频分布，即Wigner-Ville分布。当核函数不等于1时，可以理解为是模糊域的滤波函数，即对模糊

5、函数进行滤波。若核函数是乘积的函数形式，则称为乘积核，通常记为。对（1.3.2）作反变换，可得到由给定时－频分布求其核函数的公式：　（1.3.7）结合时－频分布所希望的数学特性（表1.3.2），可以推导出核函数必须满足如下特性：1、边缘特性：为使信号时－频分布满足时间、频率边缘特性，核函数必须满足时间边缘，　　　　　　　　　　　　　　（1.3.8）频率边缘，　　　　（1.3.9）　　2、能量归一化：为使时－频分布在不一定满足边缘特性情况下总能量归一，核函数必须满足　　　　　　　　　　（1.3.10）3、实值性：为了使时－频分布是实的，核函数必须满足　　　　　　　　　

6、（1.3.11）4、时、频移不变性：为使时－频分布具有时、频移不变性，则核函数必须是与时间和频率不相关的。5、尺度不变性：为使时－频分布具有尺度不变性，核必须是一个乘积核，即　　　　　　　　　　（1.3.12）6、有限支撑性：为使时－频分布满足有限支撑性，核函数必须满足弱有限支撑：（1.3.13）（1.3.14）强有限支撑：（1.3.15）（1.3.16）　　7、逆变换：如果对所有的和值核函数被唯一确定，那么信号能够由时－频分布恢复，如果核在某些区域为零，那么不可能唯一地恢复信号。8、低通性：为使多分量信号时－频分布的交叉项降低，核函数必须具有很大的峰值，也就是当远

7、离轴或轴中的其中某一轴时，的乘积要尽可能大，即有　　　　时　（1.3.17）9、投影凸集：假定和是满足一个特定约束的核，构造如下新核：　　，　　（1.3.18）可以证明，所有的构成了一个凸集，它可以自动地挑选核函数，如果存在的话，它将满足所有的约束条件，如果不存在，此方法可以在均方的意义上挑选最好的函数。（表1.3.2）是作为能量分布的时－频表示应满足的基本数学性质，用核函数对模糊函数加权后，时－频分布也自然会发生一些变化。因此，如果要求变化了的时－频分布仍能满足所提出的某些基本性质的话，核函数就必须受到某些限制，（表1.3.1）是典型类时－频分布的核函数及其要