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1、第三章微分中值定理与导数应用§3。1微分中值定理罗尔定理：若函数/(x)满足在0,切上连续，在⑺，历内可导，/⑺)=/(b),则有fw(d,b)使止)二0o从几何意义理解罗尔中值定理的意义。注意：(1)定理中的条件是充分的，但非必要的。(2)导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点，临界点)举例：求罗尔定理结论中的P97〜1拉格朗日中值定理：若瓯数/(兀)在⑺,勿上连续，在⑺上)内可导，则有使b-a拉格朗日定理是罗尔定理的推广。从拉格朗口屮值定理的几何意义，理解拉格朗口屮值定理的意义。推论1：若函数/(兀)在区间/内可导，且/x)=0,则函数/(x)在区间/内恒等于一个常数。推论
2、2：若函数/(兀)和g(x)在区间/内的导数处处相等,即fx)=gx),则函数/⑴和g(x)在区间/内仅相差一个常数。拉格朗日中值定理的应用：证明不等式举例：凶6~例5,P97〜5小结：利用格朗口中值定理证明不等式，首先要设一个恰当的函数，然后将/(§)恰当地放大和缩小，从而得到所要证明的不等式。柯西中值定理：若函数/(x),F(x)在［⑦刃上连续，在(d,b)内可导，且F‘©工0则有(d,b)使F(b)一F(a)g@)柯西中值定理是拉格朗tl中值定理的推广。几个中值定理之间的关系：拉格朗日定理是罗尔定理的推广；柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。［小结］中值定理刻划函数
3、在区间上的增量与函数在区间内的某一点的导数的关系，要了解三个中值定理意义，就要知道这些定理之间的关系。§3.2洛必达法则［教学目标］熟练掌握洛必达法则和各种未定式的定值方法0oo两种基本的未定式：一，一0OO洛必达法则：若函数/（兀）和g（x）满足：（1）limf（x）=0,limg（兀）=0;XT%A—>X0（2）在C7°（兀o）内可导且g‘（兀）丰0⑶lim厶凶=4（或。o）wg（兀）则lim乙◎=lim厶凹=A（或XT勺g（jt）XT"。g（X）0oo只证明工型未定式的洛必达法则，一型未定式一样有对应的法则。08注意洛必达法则的适用条件。举例：P98例1〜例3注意：（1）
4、洛必达法则中的条件（1）改为lim/（x）=oo,limg（x）=oo,则x—>A0为二型未定式，则法则仍成立。OO（2）法则中的XT兀（），改为XX~,兀Too,xt+oo,XT-8只要将法则中的条件（2）作相应的修改，法则仍适用。（3）若lim厶凹还是°型或二型未定式，可对lim4^再用一次洛必达法则，依次类g（Q0oog3推。举例：P99例4~例60OO注意只有一型或一型未定式才能用洛必达法则。0OO对于0・oo型常将其化为分式而变成9或二，对于oo°,0°,1°等又经常通过将其变成指数08函数或取对数化为0・oo型；至于00-00型，一般通过将其通分或有理化后根据情况处
5、理。举例：例7~例9［小结］利用洛必达法则可以得到9,二及O-oo,OO0,0°,1°,00-00等各种未定式的08定值方法，在计算时要注意洛必达法则的适用条件。并且洛必达法则时能同时与其他求极限的方法结合使用，将使计算简捷。注意：洛必达法则失效的情形。§3。3函数的单调性与极值一、函数单调性的判别法定理1（判别单调性的充分条件人在函数f（x）nf导的区间/内:(1)若f(x)>0,则函数于(兀)单调增加;(2)若fx)<0,则函数/(兀)单调减少;讨论两数单调性的一般程序：(1)确定函数的定义域(2)确定函数增减区间的可能分界点(驻点或导数不存在的点)(3)判别函数的增减区
6、间举例：P104例1〜例2二、用函数的单调性证明不等式要证明在区间⑺上)上有/(x)>g(x),只要利用函数单调性与极值判别定理证明F(x)=f(x)-g(x)>0即可。举例：P105例3/4三曲线的凹凸性与拐点定义定理2(判别凹凸性的定理)：在函数/(%)-阶可导的区间/内：(1)若fx)>0,则曲线y=f(x)凹(2)若fx)<0,则曲线y=/(兀)凸举例：P107~例5定义(拐点)：(P107)定理(拐点存在的充分必要条件)：设函数/(x)在卩(心)内连续且二阶可导，若在点兀。的左、右邻域内，厂⑴的符号相反，则曲线上的点(x0,/(x0))是曲线的拐点。确定曲线y=/
7、(x)的凹凸与拐点的一般步骤：(1)确定函数/(无)的连续区间/；(2)在区间/内求出使fx)=0和fx)不存在的点;(3)由上述求出的点将区间/分成若干个部分区间，在各个部分区间讨论fx)的符号，便可确定曲线在相应部分区间内的凹凸，同时确定曲线是否存在拐点，并求出拐点。上述过程可列表表示。§3。4、函数的极值与最值一、函数的极值1、极值的定义(P108)2、极值的求法定理1(极值存在的必要条件)：若函数/(x)在点兀。处可导，且取得极值，则注意：（1）驻点不一定是极值点。（2）函数不
