微分中值定理与导数

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第三章微分中值定理与导数的应用1．函数在上满足罗尔定理条件的。2、若在上满足拉格朗日中值定理，则在内存在的=________。3．在区间上满足拉格朗日中值定理的中值=。4．函数在区间上满足拉格朗日中值定理的。5．验证罗尔定理对函数在区间上的正确性。6．验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性。7．对函数及在区间上验证柯西中值定理的正确性。8．试证明对函数应用拉格朗日中值定理时的求得的点总是位于区间的正中间。9．证明下列不得等式：⑴⑵当14 ⑶当10．用洛必达法则求下列极限：⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽14 ⑾⑿11．确定下列函数的单调区间。⑴⑵⑶⑷12.求下列函数图形的拐点及凹凸区间：⑴⑵⑶⑷13．利用函数的单调性证明下列不等式：⑴当时，⑵当时，14 ⑶当时，14．列表讨论下列函数的单调区间，凹性区间，极值点与拐点。⑴⑵15．求a,b为何值时，点为曲线的拐点？16．求下列函数的极值：⑴⑵⑶⑷17．求下列函数的最大值，最小值。⑴，14 ⑵，⑶，18．要用薄铁皮造一圆柱体汽油筒，体积为V，问底半径r和高h等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？19．某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆，截面的面积为5，问底宽为多少时才能使截面的周长最小。20．一炮艇停泊在距海岸9公里处，派人送信给设在海岸线上距该艇公里的司令部，若派人步行速率为5公里/小时，划船速率为4公里/小时，问他在何处上岸到达司令部的时间最短。21．将长L为的铁丝分成两段，一段绕成一个圆形，另一段绕成一个正方形，要使两者面积之和最小，应如何分法。14 22．用围墙围成面积为216平方米的一块矩形土地，并在长向正中用一堵墙将其隔成两块，问这块地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建材最省？23．求抛物线在其顶点处的曲率及曲率半径。（B）1．若函数在（a,b）内具有二阶导数，且，其中,证明：在内至少有一点，使得2．证明方程只有一个正根。3．设在上连续，在内可导，证明在内有一点，使14 1．设，求2．证明：若函数在内满足，且，则3．讨论函数，在处的连续性。4．（其中5．确定函数的单调区间。⑴⑵14 1．求函数图形的凹或凸区间及拐点：⑴⑵2．证明下列不等式：⑴当时，⑵当时，⑶当时，3．利用函数的凹凸性，证明下列不等式：⑴⑵14 ⑶（C）1．设，证明对任何有2．设函数在的某领域内具有一阶连续导数。且，若在时是比高阶的无穷小，试确定的值。3．证明：当时，4．设在上具有二阶导数，且满足条件，其中都是非负常数，c是内任意一点。证明5．利用泰勒公式求极限6．设存在，证明7．设函数在上连续，在内可导，且，试证存在，使8．假设函数和在上存在二阶导数，并且,试证：⑴在内⑵在内至少存在一点，使第三章微分中值定理和导数的应用习题答案14 （Ａ）１、　　　　　　２、　　　　　３、０　　　　　　４、10、１）１　　　　２）２　　　　　　３）　　　　４）１５）　　　　６）０　　　　　　７）１　　　　　　８）９）　　　　10）　　　　　　11）　　　　　　12）11、1）在内单调递增，在内单调递减。2）在内单调递减，在内单调递增。3）在内单调递减，在内单调递增。4）在内单调递增。12、1）拐点，在内凸，在内凹。2）拐点，在内凸，在内凹。3）没有拐点，处处是凹的。4）拐点，在内凸，在上是凹。15、　　　　　　　　　　16、17、1）极小值，　　　　2）极大值3）极大值　　　　4）没有极值18、1）最大值，最小值2）最大值，最小值3）最大值，最小值19、　　　　　　20、底宽米21、　　　　　　　　　　　　　22、一段为作圆，作正方形23、长为18米，宽为12米　　　　　25、14 （Ｂ）１、先分别在上用罗尔定理有，再在上对函数用罗尔定理，得证。２、先用零点定理证明在上存在正根，再用罗尔定理证明唯一性。３、设函数，在上拉格朗日中值定理。４、由拉格朗日中值定理，原式５、即是要证明，设，由已知易得，则，再用已知，即可证明。６、令，处连续。７、设，则，。８、１）定义域为，得驻点，易讨论在单调递增，在单调递减。　　２）可用对数法求导，解得驻点，和不可导点，再分区间讨论。９、１），令得，再分区间讨论，拐点是。　　２），令得，再分区间讨论，拐点是。10、１）令，　　　单调递增，单调递增，即可得证。　２）两边取对数，改证：，令，又，利用单调性即可得证。14 　　３）令，利用单调性即可证明。11、1)令凹。即可证明　　2)令　　3)令12、可解得驻点为，因此需讨论与两点，极大值，极小值13、方程两边对x求导，得分成两种情况代入椭圆方程讨论，纵坐标最大点为，最小点为。14、令，用增、减性讨论得是的最大项。（C）1、证明：不妨设由拉格朗日中值定理有：，又单减，故再由证毕。2、解：由题意⑴则即又对⑴式用洛必塔法则14 3、证明：令，有（当）所以单增，又：当，当于是当时，=，证毕4、证明：将处展为一阶泰勒展式：两式相减得：5、解：令，则原式=令，由泰勒公式6、证明：左边=14 ====证毕7、证明：设，易知和在上满足柯西中值定理条件使又由拉格朗日中值定理，存在使使8、证明：⑴用反证法，若存在点，使，则对在和上分别用罗尔定理。存在和使，再对在上用罗尔定理，知，使。与题设矛盾。⑵令易知上用罗尔定理即得14