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1、第十一讲回归分析一、数学模型例1测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下:身高111114111111511111444495555575566635670345689024腿长8889999999999911008581233568768902以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（x[,yj）在平面直角坐标系上标岀.■++-++-+-++-4-++-+-+-++-+1021009896949290888684140145150155160165一般地，称由尸仇+0以+£确定的模型为一元线性回归模型，记为"0。+处+£££=0,D£-G~固定的未知参数仇、01称为回
2、归系数，自变量X也称为回归变量.y=0（）+0M，称为y对x的回归直线方程.一元线性回归分析的主要任务是：1、用试验值（样本值）对0。、A和＜7作点估计;2、对回归系数0°、A作假设检验；3、在x二兀°处对y作预测，对y作区间估计.二、模型参数估计1、回归系数的最小二乘估计有n组独立观测值,（xi，yi）,g,丫2）,…，（Xn，yn）,设=0o+曲+弓,，=1,2,...,/?[e©=0,Dei=（y2且£x£v...,£n相互独立记Q=Q（0o，0J=工屛-工（X一0o-0i兀J?,i=/=!最小二乘法就是选择0（）和01的估计久，介使得2(A)，A)=min0MQ(0
3、°，0J解得A=7-3.^入_xy-xy9或B卩'==立无一元）b—司1”1〃曰,其中壬=_£兀，歹二_£%，工k—元尸‘5mi=l/丄茁，承常栩9=Bo+=亍+B（兀一丘）。（经验）回归方程为：2、/的无偏估计记Q严q（B°,Bj二乞bi-瓦-BX）=X（x--z）i=l称Q「为残差平方和或剩余平方和.（J2的无偏估计为d}=0/（兄-2）称为剩余方差（残差的方差），分别与久、A独立。氏称为剩余标准差.三、检验、预测与控制1、冋归方程的显著性检验对回归方程丫=0（）+0
4、兀的显著性检验，归结为对假设H°:0i=0;0:恥0进行检验・。假设心：0严（）被拒绝，则回归显著
5、，认为y与x存在线性关系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著，y与x的关系不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义.(I)F检验法J]ft当H°成立时，F=—-—~F(1,n-2),其中U=Y(y.-y)2(回归平方Qe心-2)7T和)，故F>Fm(l/-2),拒绝J/。,否则就接受Ho・(II)t检验法当H。成立吋，丁=匹庆(n-2),故T>t。⑺―2),拒绝Ho，否则就接受比).其中—二£(壬一元)—$>；-泾1=1/=!(HI)r检验法-无)(兀一刃./=!n记厂==当丨r
6、〉mu时,“_元）2£（牙•—刃2J=1/=1拒绝Ho；否则就接受H°•其中B
7、7a（n~2）为/AICT'的置信水平为1-"的置信区间为Qe力2）°2、彳1+(“—2)/艮(1,"—2)°回归系数的置信区间00和0i置信水平为1-a的置信区间分别为1x2_+——ns预测与控制3、(1)预测用％的回归值九=久+BX°作为yo的预测值.儿的置信水平为1-0的预测区间为[—(g+心,其中W孕一2)帆+气壬特别,当n很大且x。在无附近取值时，y的置信水平为1-"的预测区间近似为A.八AA.y—q巴小+6巴a1I22（2）控制要求：y=0°+0u+£的值以1_"的概率落在指定区间（/,/）,只要控制X满足以下两个不等式y-<5（x）>y,y+^（x）
8、y"-y'»25（兀）.若夕-<5（兀）=y；y-S{x}=y"分别有解x和x,即y一6（『）=yy+=y"・则X，/）就是所求的X的控制区间.四、可线性化的一元非线性回归（曲线回归）例2出钢吋所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，容积不断增人.我们希望知道使用次数与增大的容积之间的关系•对一钢包作试验，测得的数据列于下表：使用次数增大容积使用次数增大容积26.421010.493&201110.5949.581210.6059.501310.8069.701410.60710.001510.9089.931610.7699.991110.5109.58.57.56
9、.5-：6210121416此即非线性回归或曲线回归问题(需要配曲线)。配曲线的一般方法是：先对两个变量X和y作n次试验观察得a,开),i=1,2,...,77画出散点图，根据散点图确定须配曲线的类型•然后由n对试验数据确定每一类曲线的未知参数a和b.采用的方法是通过变量代换把非线性回归化成线性回归，即采用非线性冋归线性化的方法.通常选择的六类曲线如下：(1)双曲线丄=r/+-)'兀(2)幕函数曲线y=ax其中x>0,a>0(3)指数曲线y=a严其中参数a>0・(4)倒指数曲线y二a严其中a>0,(5
