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1、（聚焦2008）第3讲：映射与函数一、知识梳理（—）知I框圉（射映）竝代衣=函数映定叉A传统定义（对应）」「定义域一般映射＜=映射＜C（像与原像）（二）重点难点=＞函砖=＞函数的三要素｛对应法则©「列表丄值域函数的表示方法解析法（公式法）I图像法重点：（1）映射的概念；（2）函数的概念；（3）函数的表示法。难点：（1）对函数概念的正确理解；（2）求有特殊要求的映射的个数。二、考点解读与例题分析（一）止确理解映射的概念映射是指两个非空集合A、BZI'可的一种特殊对应，理解映射要注意以下几点：（1）映射具有方向性，从A到B的映射与从B到A的映射截然不同。（2）“任何、唯一”：对于A中任何
2、一个元素，在B中都有它在“f，下的唯一的像，而B中可以有元素在A中没有原像；（3）“两允许两不允许S允许集合B是有剩余元素，不允许集合A中有剩余元素，允许多对一，不允许一对多。【例1】下列对应是否为从A到B的映射？能否构成函数？（1）A=R,B=R»f：x~^y=；兀+1、111（2）A=｛al-aEN｝,B=｛blb=-,neN｝,f：a-＞b=-；2na（3）A=｛平而a内的矩形｝,B=｛平面CI内的圆｝,f：作矩形的外接圆。(二)函数的有关概念(1)传统定义：若在某变化过程中有两个变量X、y,并且对于x在某个范鬧内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，
3、那么y就是x的函数，记为y=(x)。(2)近代定义：函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射。其实质是定义域(一个非空数集)、对应法则和值域(切一个非空数集)。(3)函数的表示法列表法、解析式法、图像法(4)常见函数正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、常数函数(y=c,c为常数)。(5)相同的函数是指定义域和对应则法则都相同的函数，但对应法则可以有多种不同的表现形式，例如：fi(x)=1x1与f2(x)对应法则fi：对自变量取绝对值；对应法则f2：对变量平方再开方，但两个对应法则是相同的。【例2】试判断下列各组函数中，是否表示同一隨数？(1)f
4、(X)=,g(x)=;
5、X
6、「1，xNO(2)f(x)=与g(x)=5；xI—1,x<0(3)f(X)=2"如2卄1,g(x)=(2“呱)2n-l；(4)f(x)=頁厶+1,g(x)=^Jx2+x；(5)f(x)=x2—2x—1,g(x)=t2—2t—lo(二)分段函数和复合函数(1)分段函数若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用儿个式子來表示函数，这种形式的函数叫分段函数。处理分段函数的问题，除了要川分类讨论的思想外，还要注意其屮整体和局部的关系。(2)复合函数若y是u的函数，u乂是x的函数，即y=f(u),u=g(x),xU(a,b),uW(m,n),那么y关于x的函数y=
7、f[g(x)J,xW(a,b)叫做f和g的复合函数，u叫做中间变量，U的取值范围是g(X)的值域。fn-2,n^lO【例3】己知且f(n)=<。lf[f(n)],n<10试求f(5)和f(0)的值。「2—x—i,xWO【例4】(2003年全国高考试题)Llftlf(x)=<1，若fLx2,x>0(xo)>1,则X。的取值范围是()(B)(-1,+8)(D)(一8,—1)U(1,+8)(a)e-1,1)(C)(—8,-2)U(0,+8)【分析】当x()W0时，2~Xq—1>1,即2一可>2,于是解得x0<-l；当Xo>0时，X2>1y于是解得Xo>l,所以所求Xo的取值范围是(一8,—
8、1)U(1,+8)【答案】D(二)求映射的个数，一般地，对于没有任何条件限制的映射可直接用分步计算原理(把作映射看作是对A集合中的每一个元索找像)，若有限制条件，且“数目”不人，也可用“列举法”來解决。当然也可结合组合知识來求解。【例5】设M={a,b,c},N={-2,0,2},求从M到N的映射满足f(a)>f(b)Mf(c)的不同映射的个数。【解】满足f(a)>f(b)Mf(c)的映射是从M到N的特殊映射，可具体化，通过列表求解。f(a)0222f(b)-2-200f(c)-2-2-20因此，满足条件的映射为4个。(三)准确、深刻地理解函数的概念函数的核心是対应法则，一般地说，在
9、函数记号y=f(x)中，f代农的对应法则，等式y=f(x)表明，对于定义域中的任意x,在“对应法则f”的作用下，即可得到y,因此，f是使“对应”得以实现的方式和途径，也是区别两个函数是否相同的重要因素，因此，是函数核心，对应法则f可以用—•个解析式來农示，也可用图像或数表來农示。【例7]《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全刀工资、薪金得不超过800的部分不必纳税，超过800元的部分为全刀应纳税所得额，此项税款按以下分段累计进行计算：全月应纳税所得额税
