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1、第五章Jordan标准形§5.1特征多项式，特征根与特征向量1•设久是A的特征根，证明对任意的多项式，（兀），/"）必为/（A）的特征根.证明设纟是A的属于2的一个特征向量，则A—J同时易证=比.设/（兀）二anxn+cin_}xn~x+……++兔）则.f（A）g=anK^+皿苛+……+qAg+刃診=+++a0^=f（2）g可见疋）是/（A）的特征根.2•证明对称的正交矩阵的特征根必为1或-1・证明^A=Ar,ArA=Iy2是A的特征根，歹是属于2的特征向量，则即§=QAp=Z=世于是从而宀±1・3.证明非零的幕零矩阵不能与对角矩阵相似.证明设Ah()为幕零矩阵，若有非奇异矩阵〃使得G0、A=
2、PP「'、°兀则欠0、x”=p••・p~x=o从而人=人=……=^=°,所以A=0,这与AhO矛盾.4•证明A与A，的特征多项式与最小多项式都相同.证明A的特征多项式为
3、21-A]=/*(%)=2"+(-1)勺2"“+(-1)b2Zn~2++(-1)勺一[几+(-1)bn其中°为A的’阶主子式之和；而的特征多项式为卜1-A*=g⑷=A"+(-1)'+......+(-1)"'c”_M+(-1)"c”其中G为A丁的j阶主子式之和,由于所以于⑷二g®)・设A的极小多项式为力(易,A7'的极小多项式为厂(可・不防设/z(2)=。“几"++d]2+d()/z（A）=%A"+d—iA"1++d]A+d（
4、）I=O（d”A"+d“_
5、A"4-+d]A+d（）I）=0an（）+an-（^）++«
6、AT+O0I=0所以//（A「）=0,从而r（2屮⑷;同理，力⑷"⑷，再有它们都为首哆项式，故力（2）_厂（几）厂（几）厂（几）5.设A，B均为"阶方阵，且有完全相同的特征根，而这料个特征根两两不同•证明必有斤阶方阵P与心使得a=pr，b=rp且可要求P为可逆矩阵.证明a,b有完全相同的特征根,设为人，人，……，血,人，入,……4两两不同，所以人占都有斤个线性无关的特征向量，从而A,B都相似到对角阵A0、C=••・<0o'、0T~lAT=■■■S~lBS=•••<0&丿<0其中八S为非奇异矩阵，则厂，A
7、T=S1B5,A=T5,BST令TS—P,BS「'=/?则A=P/?,B=.冃P为非奇异矩阵.§5.2特征矩阵1.用行列式因子来求矩阵V100、0/11000A1、0432+2丿的法式.解D}=1,D2=1,D3=1,04=A4+223-322+42?故(Pl=I®=1，%=1®=D4所以法式为100001000010000/I4+2A3-3Z2+4A§5.3Jordan标准形式1.设A为〃阶复矩阵。证明若A2+A=2I则A与对角矩阵相似.证明由已知知A满足多项式才+几-2,从而A的极小多项式$⑷
8、，+2一2,所以&⑷无重根,故A的初等因子组均为一次式,因此A与对角矩阵相似.1.将下列复方阵化
9、成Jordan标准形式:~2-12、‘41-r22-1-312、—3-13,<310,(1)q+21-2、<2-222-30、21-A=-22-21-2A—21<312-3丿4一3"+52-50丿厂兄一222-3()、<2-22兄-3())001T001、22-3一才+5久一50丿,1—A~+2+10丿A—2（八1『、10、0001T0101007.00(H于是Jordan标准形式为〔11()[011、001?(2)<2-4-11「/10、0>11—A=3A-1-2T010<-3-1兄丿,00(2-1)(2-丿于是其Jordan标准形式为100、021(°02丿1.任意复方阵恒可表成两个对称方
10、阵Z积.证明在复数域上A可和似于Jordan标准形式，故有非奇异矩阵P使P'AP=D
11、㊉……㊉°,其中°是Jordan小块（心心，……』）.取fl0丫HL•・显然厲正交，円产卅=町,且HDHi=D］，则D尸7=线㊉……㊉Hhl
12、
13、P~lAP=D｝㊉……㊉D严H、D：H㊉……㊉H（D；H；=H（D：㊉……㊉D：）H=胪尺（卩7$H所以A=PHP*（K）7HP-'取B=PHP『,C=以（厂）7HP",则有A=BC,同时易验证B，C均为对称矩阵.4.设人月是”阶复矩阵，AB=BA.证明若A的〃个特征根互异，则有可逆矩阵P使P「'AP,P'BP同为对角形式.证明设A的斤个特征根为不心……人，（互不相
14、同），则A可相似与对角矩阵•设冇非奇异矩阵P使得P~lAP=(0&丿设则P~lAPD=10P-'APD=P-'APP_IBP=P-'ABP=P_IBAP=P^BPP^AP所以=D〔00人丿、0、0、D■■■=■■■D<0血丿<0人丿即入jdijWj,也就是（入-几）血=0,对任意的门。若心人那么故血",这说明Q是对角矩阵.
