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1、不等式的推广和应用摘要：文章以不等式为研究对象，穿插了中学数学里许多方面的重要内容，归纳总结出了不等式的建立方法、推广方向和各种应用中的解题思想和方法。中学生在了解不等式的相关知识之后，也会对相应方面的数学知识有更加深入的认知，特别是中学数学里涉及到不等式的解题方法。关键词：中学数学;不等式;建立;推广;应用前言：不等式在中学数学中占有极重要的的低位，从最开始学习的均值不等式，到后来的柯西不等式，从最开始的利用放缩法来解决比较问题，到后来的求极值或者是最值问题，甚至是线性规划中的运用，都离不开不等式的妙用。而且，据经验来看，掌握一些基本不等式的用法，在很多情形中就可以简化计算量。因此，此次
2、研究不等式的推广和简单应用，对中学生来说借鉴作用的。在本文中，我们主要分为三个部分，在第一部分，我们主要是利用中学的知识，简介一些建立不等式的方法，也会提一些中学中没有的但是又比较著名而且基本的一些不等式，可以拓展一下中学生的眼界，增加对不等式的了解；在第二部分里，归纳总结出了出了中学中常用的一些不等式的推广方法，并且对每种方法都详加阐述，用有形的文字来传达无形但深刻的思想方法；在第三部分里，我们将介绍一些不等式的应用，主要是中学里应用到不等式的一些题型，进一步的来了解不等式的作用。为了使读者便于理解，在每一部分，都列举了一些例子，来进行具体的解说。总而言之，这篇论文主要是利用中学的思想解
3、决中学里的不等式的建立、推广和应用问题,当然，笔者所述的目的是希望借此让中学生对不等式的建立、推广、应用有种意识，这样碰到类似的问题的时候，潜意识里会更容易想到这些方法的。一、建立不等式的基本方法【1】建立不等式的方法主要有基本不等式、数学归纳法、抽屉原理法、几何法、图论法、向量法、复数法、判别式发、凸性函数法、单调方法、中值定理法、极值法、确界法和収缩法、方法、恒等式法等等，这些方法，读者基本上可以从名字就可以有个了解，所以就不再一一赘述。这里就中学中常用的方法做个简单的介绍。1、基本不等式法顾名思义，基本不等式法就是利用基本不等式来建立不等式。基本不等式包括很多著名且基础的不等式，这里
4、只介绍中学学过的或老师们常提起的不等式：均值不等式（包括算术平均、几何平均和调和平均）、三角形不等式、柯西不等式、伯努利不等式。均值不等式：设a、b、c>0,则有,等号当且仅当a=b时成等号成立三角不等式：对于任何实数x、y，有.柯西不等式：对任意正数a、b、c、d，有：.伯努利不等式：对于x≥-1的任何实数，当α>1或α<0时,有;当0<α<1时，有。由于基本不等式法应用太过广泛，在本文的后续内容中，涉及到的例题中，或多或少都会有基本不等式的身影，所以笔者在这就不再给出具体的例子。2、数学归纳法数学归纳法是数学证明中常用的方法，主要有反向归纳法和普通归纳法。由于中学数学中主要以普通归纳法
5、为主，并未涉及到反向归纳法，所以对反向归纳法只作简单的介绍。普通归纳法：普通归纳法又有第一数学归纳法和第二数学归纳法之分，这个在中学教材中都有详实的介绍。归根究底，这两种方法都是先确定一个起点，再进行推理，所不同的是，前者是逐次递推，而后者是全局推导。反向归纳法：设P（n）是一个与自然数n有关的一个命题，如果P（n）满足：①对于无穷多个自然数n,P（n）都成立;②假定P（k+1）成立，可推出P（k）也成立，那么可断言P（n）对于任意自然数n都成立。下面还是通过具体的例子来感受一下普通归纳法在不等式的证明中的应用。例1：设,且x≠0,n是不小于1的整数,则. 证明: 当n=1,上个式子成
6、立, 设对于n-1,有: 成立, 则: 就是对一切的自然数,当 ,有.利用数学归纳法证明不等式，放缩法是常见的处理方式，但读者需注意的是，对于有些放缩的过程中若涉及到乘除法，则要注意符号的变化。3、几何法：几何法，通常是指将代数问题转化为几何问题，通过几何图形的性质来解决问题。这种方法一般都能大大的减少计算量，是一种很富技巧性的方法，其关键是要几何眼光来看待代数式子，熟知几何图形的性质，这样才好把握住当前代数式子的几何意义。【2】例2：证明，对于任何正数x,y,z，下面的不等式恒成立：.BA6060CD证明：构造如图，在△ABC中，设AB=x,AC=y,∠ABC=60，那么B
7、C=；在△ACD中，设AC=y,AD=z,∠CAD=60,那么CD=；在△ABD中，设AB=x,AD=z,∠BAD=120,那么BD=.由BC+CD≥BD，即证。4、判别式法：判别式法的用法往往都比较直接，主要通过判断二次方程的根的情况来列出相应的判别式。读者需要注意的是，当我们看到一个形如判别式的式子时，我们就需要条件反射出它二次方程的样子，具体了解到哪个是二次系数、一次系数和常量。只要有了这个条件反射，解决这类不等式
