抽象函数的单调性、奇偶性问题

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1、抽象函数的单调性、奇偶性问题1•函数/（对对任意的a,bwR,都有/（a+b）=/（d）+/（b）—1,并且当兀〉0时，/（x）＞l.（摘H《学案与测评（文）》第13贝）（1）求证：/（X）是R上的增函数；（2）若/（4）=5,解关于“的不等式f（3m2-m-2）＜3.解答：（1）提示：增减项X2=（X2-Xj+Xj:（2）（_l'f•2•设/（x）是定义域（0,+00）为上的函数，同时满足条件：®/（^）=/（x）+/（y）;②/（2）=1；③若兀＞1,则/（x）＞0・如果/（x）+/（兀一3）52,

2、求x取值范围.（摘自教案咖hs-i函数的单调性）解答:（3,4].3•已知函数/（X）的定义域为R,对任意wGR都有f（727+/?）=/（7?7）+/（/?）+—,2（1A1且/一=0,又当兀〉一时，/（%）＞0.（摘自《I比纪金榜》第21页——新题快递）12丿2⑴求/（1）；（2）求和：f（l）+f（2）+.f（3）+・・・+/（2009）；（3）判断函数/（兀）的单调性并加以证明.解答：（1）丄；（2）等差数列首项为丄，公差为1；（3）证明：设x,＜x2,22*•则/（再）-/（兀2）=/（州）-

3、于[（兀2-西）+兀「「11r11r1=/（Xl）_/（A：2-%,）+/（%!）+-=-f（x2-%!）+-=-f（X2-）+/-+-（\=-f兀2一西+牙V0，即/（X1）＜/（X2）-2丿所以函数/（x）为增函数.4.定义在区间（-1,1）上的函数/（切满足：（东」匕冇才高屮部2010期小文科）①对任意的e(-1,1),都有f(x)+/(y)=/(音上):1+兀y②当兀<0时，./'(*)>0・问题：(1)求证/3)为奇函数；(2)试解不等式/(%)+/(%-1)>/(

4、).解析：(1)解:令

5、x=y=O,贝«/(0)+/(0)=/(^^)=/(0)A/(0)=01+0令圧(—1,1)・・・一炸(一1,1)・・・于⑴+门一兀)*(——)=/(0)=01-x2・・・/(-x)=-/(%)Z.f(x)在(一1,1)上为奇函数(2)解：令—l

6、)+/(—x2)=/(―—)1一兀1七'.*X

7、—%2V(),1~XX2>()・°・————<0・：/(———)>01_1_xx2:./(X

8、)>/(x2)・・・/(Q在(―1,1)上为减函数-1

9、1不等式化为<2兀一11?VT」+兀〜一x2[Ov兀vl=>X2一5兀+3〉000PB.R>P>QC.P>R>QD.Q>P>R答案：B.提示：关注口标需要

10、判定函数的单调性进一步需要对P进行合-变形进一步需要函数的奇偶件判定.兀一少‘①赋值法：在已知等式中令x=0得-/(y)=/(-y)，・・・函数为奇函数;②已知可变形为f(x)+f(-j)=f1、-P=f-+/-=/2丿'711157t1157丿=【至此可以排除AC】(3丿③定义判断单调性：设-10,(1—小2丿即/(西)-/(兀2)>°・所以函数为单调减函数;所以答案为B.201

11、5/1/25wht解析5•已知函^^=/(x)(xe/?,x^0),对任意非零函数壬、勺，恒有/(州讥2)=/(旺)+/(兀2)・(源自《世纪金榜》教师版第50页)(1)试判断函数/(兀)的奇偶性；(3(2)若/(兀)在(0,+oo)上是单调递增函数，且/(16)=4,解不等式/x2-2x+->1.2丿解析：(1)令x1=l,吃二1得/(1-1)=/(1)+/(1),所以/(1)=0,令兀严1,/I得f((-1)-(-1))=/(-1)+/(-1)，/(1)=2/(-1),所以/(-1)=0.令X)

12、=%,兀2=1，则/(兀•(一1))=/(兀)+/(-1)，即/(一兀)=/(*)，所以/(兀)是偶函数.(2)/(16)=4=>/(4.4)=/(4)+/(4)=4,/./(4)=2,同理/(2)=1.27]〒一2兀+—=(兀一1)~+—〉0,乂因为/(x)在(0,+oo)上是单调递增函数，所以22(3]93f—2xH—>1u>—2兀H—〉2I2丿2解得梧呼或”乎6•定义在R上的函数/(兀)满足：对任意实数加，M,总有/(m+n)=/(m