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1、第三章10.已知函数y=f(x)的数值表X1.01.11.21.31.4f(x)0.25000.22680.20660.18900.1736用三点数值微分公式求广(1.0),.广(1.1)和广(1.2)。解：(1)计算广(1.0)。只能选择x()=1.0,x,=1.1>x2=1.2,贝iJ/?=0.1,广(10*需［-3*/(1.0)+4*/(1.1片(1.2)］二・0.2470(2)计算广(1.1)。若选择xo=l.O,x,=1.1,x2=1.2,贝iJ/?=0.1,广⑴“需卜mW2)］7217°若选择兀0=1・1,西=1・2,x2=1.3,贝lJ/z=0・l,广⑴"為［一班几
2、口)+仃(L2M(1・3)］-O・215O(3)计算广(1.2)。若选择兀0=1.0,%,=1.1,兀2=12,贝lJ/?=0.1,广(L2*云牯［/(1.0)・4叭1.1)+3*/(1.2)卜01870若选择兀o=l.l,西=1.2,x2=1.3,贝必=0.1,广需卜/(门)伙13)］』°」890若选择x0=1.2,Xj=1.3,兀2=14,贝必=0・1,广(L2戶需［一3*/(1・2)+4叭1.3片(1.4)卜・0.1870若选择x0=1.0,xl=1.2,x2=1.4,贝ljh=0.2,广(1・2*鼎卜/(1・0)廿(1・4)］-0.1910由上可知，广(1.1)和广(1.
3、2)的值不唯一。第四章/、21.用二分法求方程/（X）=sinx-—12丿=0在区间［1.5,2］内的实根的近似值，并指出其误差。解:
4、大
5、为/(1.5)=sinl.5—=0.434995>0/(2)=sin2-l2=-0.090703<0,所以/（x）=0在区间［1.5,2］内有实根。若将区间［1.5,2］二分5次，则误差为F-对讣（2-1.5）=*=0.0078125计算结果见下表:kakfMbkfM01.50.4349952-0.090701.750.21836111.750.2183612-0.090701.8750.07518021.8750.0751802-0.090
6、701.9375-0.00496231.8750.0751801.9375-0.0049621.9062500.03581441.9062500.0358141.9375-0.0049621.9218750.01560151.9218750.0156011.9375-0.0049621.929688所以，x«x5=1.929688,其误差为0.0078125。1.方程x3-x2-l=0在如=1.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式，并建立对应的迭代公式如下：(1)X=1H,迭代公式：Xk+i=1H;XXk(2)x3=1+x2,迭代公式：无+]=#1+兀；；(3)迭代公式:试判
7、断各种迭代格式在x°=1.5附近的收敛性，并估计收敛速度。选一种收敛格式，计算出具有四位有效数字的近似根。对迭代格式（3）,分别用原迭代公式和Aitken驾驶方法计算。17解：（1）迭代函数^（x）=l+—,0（兀）二--,”'（1.5）
8、=0.5926vl,并且0（X）XX在x0=1.5附近连续，所以由局部收敛定理，迭代公式（1）在x0=1.5附近收敛。另外，0（兀）在1.5附近显然不可能等于零，因此迭代公式（1）线性收敛。因为在x0=1.5附近的近似根具有一位整数部分，所以为了保证计算结果有（2）迭代函数°（兀）=加+无2（P（兀,
9、^(1.5)
10、=0.4558<1,并四位有
11、效数字，让算应精确到小数后第3位。计算结果如下表：k01234567Xk1.51.444441.479291.456981.471081.462091.467791.46416k89101112131415xk1.466471.465001.465931.465341.465721.465481.465631.46553所以近似根为兀、1.46553。H.0⑴在x0=1.5附近连续，所以由局部收敛定理，迭代公式（2）在x0=1.5附（3）迭代函数0（兀）=〒・，0⑴二dx_o显然
12、0(1.5)卜1.4142>1,近收敛。另外，0（尢）在1.5附近不可能等于零，I大I此迭代公式（
13、2）线性收敛。计算结果如下表：k01234561.51.481241.472711.468821.467051.466241.46588k789xk1.465711.465631.46560所以近似根为兀*1.46560。所以迭代公式（3）在x0=1.5附近发散。直接按迭代公式（3）的计算结果为：k012345671.51.4142141.5537741.3437971.7054891.1905702.2907230.880204结果显然发散。用Aitken加速方法加速迭代公式（
