《中国古代数学中的算法案例》教案

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1、《中国古代数学中的算法案例》教案教学目标1•理解更相减损术、割圆术以及秦九韶算法中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析.2.基本能根据算法语句与Scilab并写出算法程序.3.在理解最大公约数的基础上去发现辗转相除法与更相减损术中的数学规律，以及理解割圆术与秦九韶算法的原理与应用.教学重难点重点：更相减损术求最大公约数的方法，割圆术的理解，秦九韶算法的运用.难点：割圆术的理解，秦九韶算法的算法理解与运用.教学设计在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的公约数吗？我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我

2、们的观察又不能得到一些公约数.1•更相减损术我国早期也有解决求最人公约数问题的算法，就是更相减损术.更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半Z,不可半者，副置分母•子Z数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。翻译出來为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数.例1用更相减损术求98与63的最大公约数.解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相

3、减，即：98-63=3563-35=2835-28=728-7=2121-7=1414-7=798与63的最大公约数是7.练习：用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数.（答案:12）2.割圆术我国魏晋时期的数学家刘徽，他在注《九章算术》屮采用止多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率兀，用刘徽自己的原话就是“割Z弥细，所失弥少，割Z又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣•”他的思想后來又得到祖冲之的推进和发展，计算出圆周率的近似值在世界上很长时I'可里处于领先地位.刘徽从圆内正接六边形开始，让边数逐渐加倍，逐个算出这些圆内正多边形的面积，从而得到一

4、系列逐渐递增的数值，来一步一步逼近圆而积，最后求出圆周率的近似值.第一，从半径为1的圆内接正六边形开始，计算它的面积S6；第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形，正二十四边形，正四十八边形，…的面积，到一定的边数（设为2m）为止，得到一列递增的数，S6，SqS24，S48，…,第三，S2m近似等于圆面积•下面的关键是找出正n边形的面积与正2/7边形的面积Z间的关系，以便递推.设圆的半径为1,正边形的边长43为劝，弦心距OG为仏；面积为Sn，根据勾股定理，得:ECI0容易知道兀6=1,（n>6）止2/7边形的面积等于正77边形的面积加上

5、77个等腰三角形的面积，即S2n=S“+〃.；・£.（1一％）正2/?边形瞬边长为X.于是由i求得S12=3；S24^3.105828；……例2用Scilab表示圆内正六边形求兀的不足近似值.2.秦九韶算法我们已经学过了多项式的计算，下面我们计算一下多项式/（x）=X+T+疋+〒+兀+1当兀=5时的值，并统计所做的计算的种类及计算次数.根据我们的计算统计可以得出我们共需要10次乘法运算，5次加法运算.我们把多项式变形为：/©）=/（］+兀（］+%（1+兀）））+兀+1再统计一下计算当兀=5时的值时需要的计算次数，可以得出仅需4次乘法和5次加法运算即可得出结

6、果.显然少了6次乘法运算.这种算法就叫秦九韶算法.1•秦九韶计算多项式的方法/(x)=。“兀"+an-lX，t1+an-2X"2气卜d］兀+aQ=(%?兀“1+cin_}xn~2+an_2xn~y-a〕)兀+q=((Q“X”2+Cln_^xn3Ha~,)x4-6Z

7、)x4-Cl{}=(・・・((终丿+%)乳+6/“_2床+…+dj+do例3已知一个5次多项式为/(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x—0.8用秦九韶算法求这个多项式当兀=5时的值.练习设计利用秦九韶算法计算5次多项式/(x)=a5x5+们*+a3x3+a2x2+atx+a

8、0当兀=x°时的值的程序框图.课程小结1、熟悉更相减损术、割圆术以及秦九韶算法的原理.2、能熟练运用它们的原理进行一些运算.