中国古代数学中的算法案例5.24

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1、长海高中高二数学备课组2010年5月24日第75个课题中国古代数学中的算法案例课时1课型新授教学目标知识与技能：了解中国古代的算法案例，能结合古代案例的思想解决一些实际问题过程方法与能力：通过本节课的学习，进一步理解算法的基本思想，并能够应用之解决具体问题，培养学生的逻辑思维能力及表达能力。情感态度与价值观：了解中国古代算法对世界数学发展的巨大贡献，培养民族自豪感重点分析理解中国古代的三个问题的算法难点分析结合算法编写程序课程资源开发及课前准备1.对内容的挖掘2.课后题的选择3.《红对勾》中题目的选取4.练习中题目的选取5.　对学生能力的判

2、定8长海高中高二数学备课组2010年5月24日第75个教学过程与内容课后反思1.复习回顾：五种语句特点2.讲授新课：●求两个正整数最大公约数的算法☆更相减损之术（1）定义：任意给定的两个正整数，以较大数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数就是所求的最大公约数，这种方法也称作等值算法.例1用等值算法求和的最大公约数.解：用较大的数减去较小的数，即，用差数与较小的数组成一组，构成新的一对数，对这一对数再用较大的数减较小的数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，这个数就

3、是最大公约数，整个操作过程如下：因此是和的最大公约数.（2）算法：S1输入两个正整数；S2如果，则执行S3，否则转到S5；S3将的值赋给；S4若，则把赋给，把赋给；否则把赋给，重新执行S2；开始输入是是否否是否输出结束图03-07-01S5输出最大公约数.（3）程序框图：如图03-07-01（4）程序如下：ainput（“a=”）；binput（“b=”）；whileabrab；ifrbnelse本节课是应用课，难度要大一些，要注意速度对于典型题目要记住解法从图向语言过渡不简单，可以放慢些速度8长海高中高二数学备课组2010年5月24日第7

4、5个ifrnar；elseab；br；endendnend（5）更相减损之术的理论依据：和具有相同的最大公约数.例2求三个数的最大公约数。分析：求三个数的最大公约数，可先求两个数的最大公约数，再用得到的最大公约数与第三个数合成一组求出所要求的最大公约数.解：的最大公约数：，所以最大公约数是.的最大公约数：，所以最大公约数是.所以三个数的最大公约数是.☆辗转相除法（1）定义：用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数，这种方法称为欧几里得算法.例3用辗转相除法求和

5、的最大公约数.解：用较大的数除以较小的数，即，用余数与较小的数组成一组，构成新的一对数，对这一对数再用较大的数除以较小的数，以同样的操作一直做下去，直到大数被小数除尽，这个小数就是最大公约数，整个操作过程如下：因此是和的最大公约数.（2）算法：S1输入两个正整数；S2如果，则执行S3，否则转到S4；S3将的余数赋给，把赋给，把赋给，重新执行S2；S5输出最大公约数.（3）程序如下：ainput（“a=”）；binput（“b=”）；r=1；whiler0rmodulo（a，b）；ab；br；endprint（%io（2），b）；（4）程序框

6、图：如图03-07-02可以让学生参与进来，提高兴趣8长海高中高二数学备课组2010年5月24日第75个开始输入是否输出结束图03-07-02☆更相减损之术与辗转相除法的异同：（1）更相减损之术以减法为主，辗转相除法以除法为主.（2）在计算上，更相减损之术计算次数较多，而辗转相除法计算次数较少.（3）从输出结果来看，更相减损之术当两个数相等时输出结果，而辗转相除法当余数为0时输出结果.●割圆术☆割圆术过程分析：图03-07-03我们先对单位圆内接正六边形、正十二边形、正二十四边形……的面积之间的关系进行分析，找出它们之间的递增规律.如图03

7、-07-03，设圆的半径是，边长为，边心距为，根据勾股定理，.正边形的面积为正边形的面积再加上个等腰三角形的面积的和.即.①正边形的边长为.如果在内接边形的每一边上，作一高为的矩形，就可得到.这样我们就不仅可以计算出圆周率的不足近似值，也可以计算出圆周率的过剩近似值.从正六边形的面积开始计算，即，则正六边形的面积是.用上面的公式①重复计算，就可得到正十二边形、正二十四边形……的面积.因为圆的半径是，所以随着的增大，的值就不断的接近圆周率，这样就断计算下去，就可以得到越来越精密的圆周率的近似值.8长海高中高二数学备课组2010年5月24日第7

8、5个☆求的不足近似值的算法程序：n6；x1；s6sqrt（3）4；fori1：1：5hsqrt（1（x2）2）；ssnx（1h）2；n2n；xsqrt（（x2）2（1h）2）；e