二次函数与存在相似三角形

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1、实用标准文案二次函数与存在相似三角形3、（红河）如图，抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E．（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；（2）求△ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）在y=﹣x2+4中，当y=0时，即﹣x2+4=0，解得x=±2．当x=0时，即y=0+4，解得y=4．∴点A、B、C的坐标依次是A（﹣2，0）、B（2，0）、C（0，4）．设直线BC的解析式为

2、y=kx+b（k≠0），则，解得．所以直线BC的解析式为y=﹣2x+4．（2）∵点E在直线BC上，∴设点E的坐标为（x，﹣2x+4），则△ODE的面积S可表示为：．∴当x=1时，△ODE的面积有最大值1．此时，﹣2x+4=﹣2×1+4=2，∴点E的坐标为（1，2）．（3）存在以点P、O、D为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下：设点P的坐标为（x，﹣x2+4），0＜x＜2．因为△OAC与△OPD都是直角三角形，分两种情况：①当△PDO∽△COA时，，，解得，（不符合题意，舍去）．当时，．此时，点P的坐标为．文档实用标准文案②当△PDO∽△AOC时，，，解得，（不符合题意，舍去

3、）．当时，=．此时，点P的坐标为．综上可得，满足条件的点P有两个：，．1.(2014•东营·T25)如图，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，过点B的抛物线y=﹣x2+bx+c与直线BC交于点D（3，﹣4）．（1）求直线BD和抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点M，作MN垂直于x轴，垂足为点N，使得以M、O、N为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由；（3）在直线BD上方的抛物线上有一动点P，过点P作PH垂直于x轴，交直线BD于点H，当四边形BOHP是平行四边形时，试求动点P的

4、坐标．解：（1）∵y=2x+2，∴当x=0时，y=2，∴B（0，2）．当y=0时，x=﹣1，∴A（﹣1，0）．∵抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（0，2），D（3，﹣4），∴解得，∴y=﹣x2+x+2；设直线BD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得，∴直线BD的解析式为：y=﹣2x+2；（2）存在．如图1，设M（a，﹣a2+a+2）．∵MN垂直于x轴，∴MN=﹣a2+a+2，ON=a．∵y=﹣2x+2，∴y=0时，x=1，文档实用标准文案∴C（1，0），∴OC=1．∵B（0，2），∴OB=2．当△BOC∽△MON时，∴，∴，解得a1=1，a2=﹣2.∴M（1，2）或（﹣2

5、，﹣4）；如图2，当△BOC∽△ONM时，，∴，∴a=或，∴M（，）或（，）．又∵M在第一象限，∴符合条件的点M的坐标为（1，2），（，）；（3）设P（b，﹣b2+b+2），H（b，﹣2b+2）．如图3，∵四边形BOHP是平行四边形，∴BO=PH=2．∵PH=﹣b2+b+2+2b﹣2=﹣b2+3b．∴2=﹣b2+3b∴b1=1，b2=2．当b=1时，P（1，2），当b=2时，P（2，0）∴P点的坐标为（1，2）或（2，0）．文档实用标准文案3.(2014·钦州·T26)如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为（1

6、，0），点B的坐标为（0，4），已知点E（m，0）是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？若存在，求出此时m的值；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+4；（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，∴P（m，﹣

7、m2﹣m+4），G（m，4），∴PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m；（3）在（2）的条件下，存在点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似．∵y=﹣x2﹣x+4，∴当y=0时，﹣x2﹣x+4=0，解得x=1或﹣3，∴D（﹣3，0）．当点P在直线BC上方时，﹣3＜m＜0．设直线BD的解析式为y=kx+4，将D（﹣3，0）代入，得﹣3k+4=0，解得k=，∴直线BD的解析式为y=x+4，∴H（m，m+4）．文档实用标准文案分两种情况：①如果△BGP∽△DEH，那么=，即=，由﹣3＜m＜0，解得m=