高中数学必修四课件：《任意角的概念》课件

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1、必修四第一章三角函数1.1.1任意角的概念1、角的概念初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的。初中学过的角的范围是：0º至360º。然而生活中有很多实例的角会不在该范围：体操运动员转体720º（即“转体2周”），跳水运动员向内、向外转体1080º（“转体3周”）；经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？这些例子中有的角不仅不在范围：0º至360º，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，那么用什么办法才能推广到任意角？关键是用运动的观点来看待角的

2、变化。2．角的概念的推广⑴“旋转”形成角如图：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．⑵．“正角”与“负角”、“零角”我们规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=－150°，γ=660°，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角即零度角（0º）．此时零角的始边与终

3、边重合。角的记法：角α或可以简记成∠α，或简记为：α.如∠α=-1500，α=00，α=6600等等……⑶角的概念扩展的意义：用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了①角有正负之分;如：=210,=150,=660.②角可以任意大;实例：体操动作：旋转2周（360×2=720）3周（360×3=1080）③还有零角,一条射线，没有旋转.角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定源于实际的需要，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正

4、负，就好象数零无正负一样．用旋转来描述角，需要注意三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转量（2）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；（1）旋转中心：作为角的顶点.（3）旋转量：当旋转超过一周时，旋转量即超过360º，角度的绝对值可大于360º.于是就会出现720º，－540º等角度.旋转方向决定角的符号，旋转量决定角的大小。3．象限角为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。角的顶点重合于坐标原点，角

5、的始边重合于x轴的非负半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角。（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限此时这种角称为：轴线角）例如：30、390、330是第一象限角，300、60是第四象限角，585、1300是第三象限角，135、2000是第二象限角等4．终边相同的角⑴观察：390，330角，它们的终边都与30角的终边相同.⑵探究：终边相同的角都可以表示此角与k(k∈Z)个周角的和：390=30+360(k=1),330=30360(k=

6、－1)30=30+0×360(k=0),1470=30+4×360(k=4)1770=305×360(k=－5)⑶结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：{β

7、β=α+k·360º，k∈Z}即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。⑷注意以下四点：①k∈Z，K>0，表示逆时针旋转，K<0,表示顺时针旋转.②是任意角；③k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成(－30º)+k·360º；④终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终

8、边相同的角有无数多个，它们相差360º的整数倍.所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：{β

9、β=α+k·360º，k∈Z}即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。例1.在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1)－120º；(2)640º；(3)－950º12′.解：⑴∵－120º=240º+（-1）×360º，∴－120º的角与240º的角终边相同，它是第三象限角．⑵∵640º=280º+1×360º，∴640º的角与280º的角终边相同，它是第

10、四象限角．即：[00,3600)⑶解：∵－950º12’=129º48’+（-3）×360º，∴-950º12’的角与129º48’的角终边相同，它是第二象限角．(3)－950º12′.例1.在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中