数学分析PPT电子课件教案-第七章 定积分

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1、第七章定积分第一节定积分的概念例1：变力作功例2：变速直线运动的路程例3：曲边梯形的面积这些例子，都归结为一种和式的极限，我们把它抽象出来，得到定积分的定义:一.背景（引入）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值.（二）变速直线运动的距离（1）分割部分路程值某时刻的速度（2）求和（3）取极限路程的精确值xyoab(三)求曲边梯形的面积abxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩

2、形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注

3、意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．曲边梯形面积求法：曲边梯形面积为二、定积分的定义定义7.1设函数在区间上有定义，(1)分割在内任意插入个分点。它将分成个小区间，第个小区间的长度记为在每个小区间上任取一点(2)取点(3)作和记作和式（4）求

4、极限令若和式的极限存在（设为I）且不依赖于分法，也不依赖于的选取，则称在是可积的，否则称为不可积。称为在的定积分，记为即上述定义用语言给出。有了积分概念以后，上面的例子便可用其表示。例1：变力使质点从移到所作的功为例2：变速直线运动的路程，就是速度在时间段上的定积分，即例3：曲边梯形（由轴及曲线所围成的图形）的面积为几点说明：定义中的两个任意性。2.定义中，表示对无限细分的过程，但3.当我们已知可积的情况下，可取区间的特殊分法和的特殊取法来求积分和。这就是用定义求积分的依据。4.定积分只与被积函数和积分区间（上、下限）有关，与积分变量无关。即例用定义求积分：5.规定：第二节定积分的基本性

5、质定理7.1(可积函数必有界)在上可积，则在上有界。但反过来不成立。例如：函数在是不可积的定理7.2(积分的线性性质)定理7.3（定积分区间的可加性）定理7.4（积分的单调性）推论7.1若在可积，则定理7.5函数的一致连续性概念设在某一区间（或开，或闭）连续，按照定义，也就是在区间中的每一点都连续，即使当时，一般说来：对同一个，当不同时，也不同用符号：当时，例：图7.7曲线对接近于原点的就取得小一些，而当离原点较远时，却可以取大一些，对后者所取的值，对前者就不一定适用。能否找到（是否存在）一个对区间内所有点都适用的。从图大致看出，在中就没有公共的，有时却需要这种对所有点都适用的存在，这就

6、需要设函数在区间有定义，若对任给存在只与有关而与内的点无关的，使得对任意只要就有则称在区间一致连续。用符号：当时，一致连续的定义将函数在区间的定义加以比较，可见它们截然不同：前者（连续）：给定了和来决定。一般说来，随和而改变，记为而后者（一致连续）：是只给了就能决定即只随而变，我们记为而这种对任意的都可用。仍拿的情形看：对我们不妨求出满足时，的的最大值，来看看依赖于的情况。从得：不妨设从而或故只要取则它是使成立的最大的显然，当时可见的确依赖于我们得不到一个对中每点都适用的函数也就是说在不一致连续现设是一个小于1的函数下面在来考虑由前面难导，当时则对中任意和只要就有即在区间是一致连续的应当

7、注意：函数在某区间的连续性，只与区间中每一点及其附近的的情形有关,是局部性质而一致连续性，是整体性质函数在区间非一致连续的肯定叙述：若存在某个对任意都存在两点使得但则得在非一致收敛例1：证明在一致连续，其中而在连续但不一致连续。证明:在某区间上:连续与一致连续的关系引出：定理：定理7.6：闭区间上的连续函数一定在一致连续若在连续，则在可积一个有界函数但不可积的例子。例2函数在是不可积的定理7.6康托（Cantor）定理闭区间上的连续