《数值分析》课程设计论文--水塔水流量的估计

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1、《数值分析》课程设计论文水塔水流量的估计摘要:数学建模方法是处理科学理论的一种经典方法，也是解决各类实际问题的常用方法。本文采用曲线拟合的方法，并利用数学软件MATLAB对水塔流量进行计算，计算结果与实际记录基本吻合。关键词:建模，流量，拟合，MATLAB1.问题重述美国某州的各用水管理机构要求各社区提供用水率（以每小时多少加仑计，英制单位下，1加仑=4.54596dm3，美制单位下，1加仑=3.78533dm3）以及每天所用的总用水量，但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，而只能以每小时测量水塔的水位代替，其精度在0.5%以内。更为重要的是，无论什么时候，

2、只要水塔中的水位下降到某一最低水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直至某一最高水位H，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。因此，在水泵正在工作时，不容易建立水塔中水位与水泵工作时用水量之间的关系。水泵每天向水塔充水一次或两次，每次大约2小时。试估计在任何时候，甚至包括水泵正在工作的时间内从水塔流出的流量，并估计一天的总用水量。水塔是一个垂直圆柱体，高为40英尺，直径为57英尺。下表给出了某个小镇某一天的真实数据：表1：某小镇某天的水塔水位（1m=3.281英尺）时间（秒）水位（英尺）时间（秒）水位（英尺）时间（秒）水位（英尺）031.7535932水泵工作6853528.4

3、2331631.1039332水泵工作7185427.67663530.543943535.507502126.971061929.944331834.4579154水泵工作1393729.554663633.5082649水泵工作1792128.924995332.678596834.752124028.505393631.568995333.892522327.875725430.819327033.402854327.526057430.123228426.976455429.2712《数值分析》课程设计论文2.问题分析数据的单位转换：表2时间（h）水位（m）时间（

4、h）水位（m）时间（h）水位（m）09.67699.98水泵工作19.048.66200.929.478810.93水泵工作19.968.43341.849.308110.9510.819920.848.22012.959.125312.0310.499822.01水泵工作3.879.007112.9510.210322.96水泵工作4.988.814413.889.957323.8810.59135.908.686414.989.619024.9910.32927.018.503015.909.390425.9110.17987.938.387716.839.18018

5、.978.220117.948.9211流量是单位时间流出的水的体积，可以由对应时刻的流速乘以水塔的横截面积得到。由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数S，所以我们在这里研究的其实是流速的变化。在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率,即流速算出，问题是如何估计水泵供水时段的流速。水泵供水时段的流速只能靠供水时段前后的流速拟合得到，作为用于拟合的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流速越准确越好。这些流速大体可由两种方法计算:一是直接对表2中的水位用数值微分算出各时段的流速，用它们拟合其它时刻或连续时间的流速。二是先用表中数据拟合水位-时间函数，求导数即可得到连续时间

6、的流速。一般说来数值微分的精度不高，何况测量记录还是不等距的，数值微分的计算尤其麻烦。下面我们用第二种方法处理。有了任何时刻的流速，就不难计算一天的总用水量。其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，如表2可知从t=0到t=8.97(h)水位下降了，乘以水塔的横截面积S就是这一时段的用水量。这个数值可以用来检验拟合的结果。水泵第1次供水时段为t=8.98(h)到t=10.94(h),第2次供水时段为t=21(h)到t=23(h)。这是根据最低和最高水位分别是8.2201m和10.8199m及表2的水位测量记录作出的假设。其中前3个时刻取自实测数据（精确到0.01

7、h）,最后1个时刻来自每次供水约两小时的已知条件（从记录看，第2次供水时段应在有记录的22.96h之后不久结束）。12《数值分析》课程设计论文3.模型假设供水时段的假设水泵工作时单位时间的供水量基本为常数，这个常数大于单位时间的平均流量。流量是单位时间流出水的体积，这里假设是水位对时间的连续函数，即。为简化处理，不影响问题的解决，假设流量与水泵是工作无关。4.流量估计4.1拟合水位-时间函数从表2测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第1供水时段和第2供水时段）和3个水泵不工作时段(以下称第1用水时段t=0到t=8.97，第2