关于方阵A的任意次幂求法

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1、关于方阵A的任意次幂求法对于任一方阵，通过矩阵乘法可求得A2，A3，…，An，…，所以理论上说对于任意n∈N，An均可求出来，但实际计算却是相当困难的，下面给出几种An的求法.一，定义法.若方阵阶数比较小或者秩很小或是个稀疏矩阵，则可用定义直接相乘.1.关于对角矩阵λ=a1a2⋱am，则λn=a1na2n⋱amn.2.若r(A)=1，则A可表示为a1⋮amb1,…,bm，则An=a1⋮ami=1maibinb1,…,bm.3.若A=sinθcosθcosθ-sinθ，则An=sinnθcosnθcosnθ-sinnθ.二，

2、对角化法.若A可以对角化，即存在可逆方阵P，使得A=P-1ΛP，其中Λ为对角矩阵，则An=P-1ΛnP（此处加入例子302）.例求An，其中A=122212221.解：通过对角化，矩阵A可化为Λ=-1000-10005，其中可逆矩阵P=101011-1-11，故An=P-1ΛnP=101011-1-11-1-1000-10005n101011-1-11，=132(-1)n+5n(-1)n+1+5n(-1)n-5n(-1)n+5n2(-1)n+5n3(-1)n-5n(-1)n-5n(-1)n-5n2(-1)n+5n.特别地，

3、1.若A为m阶方阵，A有m个互异的特征值，则A一定可以对角化，则An可以用上述方法求得.2.若A为实对称矩阵，则必存在可逆方阵P，使得A=P-1ΛP，其中Λ为全体特征值构成的方阵.从而有An=P-1ΛnP.三，二项式展开.首先不加证明给出一个定理：定理：若A、B为同阶方阵，且AB=BA，则A+Bn=i=0nCniAn-iBi）.由这个定理，可将A分解成两个可以交换次序的方阵的和，再用该定理展开.例求An，其中A=abba解：A=aE+bP，其中P=0110故An=aE+bPn=i=0nCniaEn-ibPi=i=0nCni

4、an-ibiEn-iPi=(a+b)n+(a-b)n2E+(a+b)n-(a-b)n2P=(a+b)n+(a-b)n2(a+b)n-(a-b)n2(a+b)n-(a-b)n2(a+b)n+(a-b)n2.四，数学归纳法.已知A，算出A2，A3，…，寻找规律，并用数学归纳法加以证明.例求An，其中A=1101.解：经过计算得，A2=1201，A3=1301，……由此猜想，An=1n01.下面对此给予证明：①当n=1时，显然成立.②假设当n=k时命题成立，则当n=k+1时，有Ak+1=AkA=1k011101=1k+101，从

5、而结论成立，证毕.五，利用Hamilton-Caylay定理.利用Hamilton-Caylay定理求An有两种方法.1.设A的特征多项式为fλ=λE-A，特征值为λ1，λ2，…，λs，由带余除法可得：λn=fλ⋅qλ+r(λ)，其中∂rλ<∂f(λ)，且fA=0.设A为m阶方阵，则可设rλ=a1λm-1+…+am-1λ+am，将λ1，λ2，…，λs代入并根据根的重数，可求出r(λ)，从而An=rA=a1Am-1+…+am-1A+amE.2.设A的阶数为m，fλ为A的特征多项式，设fλ=λm+a1λm-1+…+am-1λ+

6、am，由fA=0可得Am+a1Am-1+a2Am-2+…+am-1A+amE=0，两边同时乘以An，可得An+m+a1An+m-1+…+am-1An=0，不妨把A1，…，An，…看成数列{bn}，即要求出数列的通项，而该数列满足递推式bn+m+a1bn+m-1+…+ambn=0，由于a1，…am为常数，可得该线性递归数列的特征方程为λm+a1λm-1+…+am-1λ+am=0，其根为λ1，λ2，…，λs，重数为r1+1，…，rs+1重，ri≥0，则bn=C01+C11n+…+Cr11nr1λ1n+C02+C12n+…+Cr

7、22nr2λ2n+…+C0s+C1sn+…+Crssnrsλsn，其中C01，C11，…，Cr11，C02，…，Cr22，…，C0s，…，Crss均为m阶方阵，可用待定系数法求解，从而Am=C01+C11n+…+Cr11nr1λ1n+C02+C12n+…+Cr22nr2λ2n+…+C0s+C1sn+…+Crssnrsλsn.特别地，s=m时，An=C1λ1n+…+Cmλmn，分别令n=1,2,…,m，可求出方阵C1，…，Cm.例求An，其中A=1254.解：A的特征多项式为fλ=λ2-5λ-6令fλ=0，可得λ1=-1，λ

8、2=6，从而An=C1(-1)n+C26n，分别令n=1，2，可得C1=57-27-5727，C2=27275757，所以An=57(-1)n+276n-27(-1)n+276n-57(-1)n+576n27(-1)n+576n.六，杂例.1.对角化法推广.在对角化法中，我们要求A可以对角化，现将这一条