初等数学研究答案1

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1、大学数学之初等数学研究,李长明,周焕山版,高等教育出版社习题一1答:原则:(1)AB(2)A的元素间所定义的一些运算或基本关系,在B中被重新定义。而且对于A的元素来说,重新定义的运算和关系与A中原来的意义完全一致。(3)在A中不是总能施行的某种运算,在B中总能施行。(4)在同构的意义下,B应当是A满足上述三原则的最小扩展,而且由A唯一确定。方式:(1)添加元素法;(2)构造法2证明:(1)设命题能成立的所有c组成集合M。a=b,假设,则由归纳公理知M=N,所以命题对任意自然数c成立。(2)若ab,则则ac

2、若a>b,则则ac>bc。3证明:(1)用反证法:若。当ab时,由乘法单调性知acbc.当ab时,由乘法单调性知acbc矛盾。则a>b。4.解:(1)(2)5证明:当n=1时,假设当n=k时则当n=k+1时则对,是9的倍数.6证明:当时,=,=;则当时成立。假

3、设当时成立,即()()()………()=当时,()()()………()()=()=当时成立。7解:(1)(2)(3)当n=1时,假设当n=k时则当n=k+1时则对,是10的倍数.8证明:9证明:假设存在b,使得由若若因此10证明:则=11答:(1)加法,乘法,减法;构成数环(2)乘法,除法;(3)加法,乘法;(4)加法,乘法;(5)加法,乘法,除法;(6)乘法;(7)加法,乘法,减法;构成数环(8)加法,乘法,减法;构成数环12证明:方法一即即方法二:设则由p==q得,,,;,,;则<即则13.(1)(2)(3)(4)1

4、4解:则它的有效数字的个数为4。15解:16证明:方法一:是有理数,则其不包含x;得,方法二:是有理数,则=;则是有理数17证明:则若若得;即无理数等于有理数矛盾,则18解:(1)并且此序列为退缩有理闭区间序列,且它所确定的实数为1.(2)并且此序列为退缩有理闭区间序列,且它所确定的实数为0.(3)并且此序列为退缩有理闭区间序列,且它所确定的实数为1.19.(1)()答:复数集与复平面内以0为起点的一切向量组成的集合一一对应;(2)()答:两复数的和与积都是实数的充分条件是:这两个复数是共轭复数(3)()答:共轭虚数的

5、正整数次幂仍是共轭复数;(4)()答:一个非零复数的模等于1的充分条件是它与它的倒数之和为实数.20证明:当,当,当,21解:Z===则

6、Z

7、=;则22解:

8、z

9、=1,=则u=当;当23.解方程;则24解:(1)(2)而(3)=当令25解:由图像知;则26解:设z=x+yi,则代入27证明:而则28证明:的两边同乘以将x=.按照复数相等的条件得习题二1解:设这个多项式为.然后将已知点依次代入:因此,即2解:令得;令得令得令得则即=3解:由于成为的完全平方式,则得:4证明:(1)==即:(2),即即:则是和的一个公因式。

10、5证明:则;=即6解:若有一次因式利用综合除法,可试除的若若若若若有二次因式设其为=按对应项系数相等得得时时。综上可知当时能分解成整系数因式。7解:(1)法一:原式为对称式,但显然原式没有一个因式,又由于原式为四次式,则设有一个二次对称式的因式则=法二:=(2)(3)原式为对称式,当时原式为零,故为原式的一个因式,又由于原式为三次式,则还有另一个二次对称式的因式.设()]令,令则(4)原式为轮换式,当时原式为零,故为原式的一个因式,又由于原式为四次式,则还有另一个一次对称式的因式.设k()令则-2()8解:(1)=比较

11、系数得:;设则则(2)=比较系数得:;设则则9解:(1)(2)=(3)原式为轮换式,当时原式为零,故为原式的一个因式,.设令则(4)==10解:(1)==(2)=比较系数得:;设则则11解:(1)先用综合除法,试除数可能是经检验只有是原式的一次因式,令展开比较系数得则=(2)12解:13.设求证:对于任何奇数k,均有,即,则;当,而则当,而则当,而则14证明:则=15证明:当时,等式成立。假设当时成立,即=当时=+=等式成立。16解;(1)通分并合并同类项后与原式比较系数,得:则(2)通分并合并同类项后与原式比较系数,

12、得:则17解:(1)(2)=(3)=0.=18解:(1)(2)=2=219.(1)=(2)=(3)(4)20解:==21证明:=同理可知则=22解:则即23证明:24证明:成等差数列,则即则。即25证明:=26解:解之得,又由于,故.27证明:要证即证即证=即证=2即证=(1)而即则=即(1)式成立。命题成立。28.(1)==1(

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