初等数学研究

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1、韦达定理及其应用摘要一元二次方程根与系数关系的韦达定理是中学数学的中学数学教学的始终。韦达定理在方程论中有着广泛的应用，它是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它可以进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看上去不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论。同时，它也是解平面解析几何习题的一个主要技巧。关键词元二次方程解析几何韦达定理应用AbstractQuadraticequationtherelationshipbetweenrootsandcoefficientsVietatheoremisahighschoolmathematicsintheMathemati

2、csTeachinghasalwaysbeen.OntheVietatheoremintheequationhasawiderangeofapplications,itisindeedanimportantfactorquadraticequationbasedontheknowledge,useittofurtherstudythenatureoftheroot,youcanalsolooksomeofthesurfaceisnotaquadraticequationoftheproblemintoisaquadraticequationfordiscussion.I

3、tisalsothePlaneAnalyticGeometryProblemSolutionofamajorskills・KeywordsQuadraticequationAnalyticGeometryVietatheoremApplication1.引言12.周期函数的定义、特征及其判定12.1周期函数的性质与特征12.2周期函数的判定及其应用13.周期函数的微积分性质及其应用2参考文献3谢辞4浅谈韦达定理及其应用OntheVietatheoremanditsapplication数学与信息工程学院数学与应用数学亚李珊珊指导老师：m1.引言韦达1540年生于法国的普

4、瓦图。1603年12月13H卒于巴黎。年轻时学习法律当过律师,后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政破谨術巒韦墩于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幕，带来斶学理论研究的重大进步韦达定理主要内容：一元二次方程ax2+bx+c=0（a*0且彳=b-4ac>0）中设两个根X和X21则x+x=12CXX=—12aba用韦达定理判断方程的根若b2-4ac>0则方程有两个不相等的实数根若b2-4ac=0则方程有两个相等的实数根2若b-4ac<0则方程没有实数解2.韦达定理概述韦达，1540年岀生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对

5、数学有浓厚的醐业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引憊弟寸称他为“代数学之父”。历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解(他舍弃了另外的22个负数解)。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。一元二次方程根与系数关系的韦达定理是中学数学的中学数学教学的始终。韦达定理在方程论中有着广泛的应用，它

6、是实系数一元二次方程的重要基础知识，利用它可以进一步研究根的性质，也可以将一些表面上看上去不是一元二次方程的问题转化为一元二次方程来讨论。同时，它也是解平面解析几何习题的一个主要技巧。下面就进行简单介绍。2.1直接利用韦达定理若已知条件或待证结论中含有a+b和a・b形式的式子，可考虑直接应用韦达定理.例1在厶ABC中，a、b、c分别是ZA、ZB>ZC的对边，D是AB边上一点，且BC=DC,设AD=d.2—a?.求证：(1)c+d=2bcosA；(2)c・d=b分析：观察所要证明的结论，自然可联想到韦达定理，从而构造一元二次方程进行证明.证明：如图，在厶ABC和厶ADC中

7、，由余弦定理，有2=b2例2己知a+a—1=0,b+b—1=0,aHb,求ab+a+b的值.+c2—2bccosA；a2=3+3—2bdcosA(CD=BC=a),a222c—2bccosA+b—a=0,222—2bdcosA+b—a=0.d222于是，c、d是方程x—2bxcosA+b—a=0的两个根.22由韦达定理，有c+d=2bcosA,c・d=b—a根.再观察待求式的结构，容易想到直接应用韦达定理求解.2+x一仁0,其二根为a、b.解：由己知可构造一个一元二次方程x由韦达定理，得l~b=—1,a*b=—1.故ab+a+b=—2・2