函数图像过定点问题的研究

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1、.函数图像过定点的研究题1:求证:拋物线y=(3-k)x2+(k-2)x+2k-1(k≠3)过定点,并求出定点的坐标.归纳:第一步:对含有变系数的项集中;第二步:然后将这部分项分解因式,使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式;第三步:令后一因式等于0,得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化,都“失效”了);第四步:解此方程,得到x的值x0(定点的横坐标),将它代入原函数式(也可以是其变式),即得到一个y的值y0(定点的纵坐标),于是,函数图象一定过定点(x0,y0);第五步:反思回顾,查看关键点、易错点,完善解题步骤.题2:(2001年北

2、京市西城区中考题)无论m为任何实数,二次函数的图像总过的点是()A.(1,3)B.(1,0)C.(-1,3)D.(-1,0)...巩固练习:1.无论m为何实数,二次函数y=x2﹣(2﹣m)x+m的图象总是过定点(  ) A.(1,3)B.(1,0)C.(﹣1,3)D.(﹣1,0)2.对于关于x的二次函数y=ax2﹣(2a﹣1)x﹣1(a≠0),下列说法正确的有(  )①无论a取何值,此二次函数图象与x轴必有两个交点;②无论a取何值,图象必过两定点,且两定点之间的距离为;③当a>0时,函数在x<1时,y随x的增大而减小;④当a<0时,函数图象截x轴所得的线段长度必大于2. 

3、A.1个B.2个C.3个D.4个3.(2012•鼓楼区一模)某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3(m≠0)的图象发现,随着m的变化,这个二次函数的图象形状与位置均发生变化,但这个二次函数的图象总经过两个定点,请你写出这两个定点的坐标: _________ .4.某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2(m≠0)的图象发现,随着m的变化,这个二次函数图象的形状与位置均发生变化,但这个二次函数的图象总经过两个定点.请你写出这两个定点的坐标: _________ .5.(2009•宜宾县一模)二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2,则这个函数的图象一定经过某一

4、个定点,这个定点是 _________ .6.无论m为何实数,二次函数y=x2﹣(2﹣m)x+m的图象总是过定点 _________ .7.已知一个二次函数具有性质(1)图象不经过三、四象限;(2)点(2,1)在函数的图象上;(3)当x>0时,函数值y随自变量x的增大而增大.试写出一个满足以上性质的二次函数解析式: _________ .8.证明无论m为何值,函数y=mx-(4m-3)图像过定点,求出该定点坐标...9.(南京2011年24题7分)已知函数y=mx2-6x+1(m是常数).⑴求证:不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的一个定点;⑵若该函数的图象与x轴只有

5、一个交点,求m的值.10.已知二次函数的顶点坐标为(﹣,﹣),与y轴的交点为(0,n﹣m),其顶点恰好在直线y=x+(1﹣m)上(其中m、n为正数).(1)求证:此二次函数的图象与x轴有2个交点;(2)在x轴上是否存在这样的定点:不论m、n如何变化,二次函数的图象总通过此定点?若存在,求出所有这样的点;若不存在,请说明理由....函数图像过定点的研究题1:求证拋物线y=(3-k)x2+(k-2)x+2k-1(k≠3)过定点,并求出定点的坐标.审题视角 有些函数的图象具有过定点的性质,这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的,例如,直线y=kx+b(k≠0),当b确定时,

6、无论k取不等于0的任何值,它总过定点(0,b);物线线y=ax2+bx+c(a≠0),当c确定时,无论a、b取何值,它总过定点(o,c).本题中可以把函数解析式整理变形,使含字母k的项组合于一组,赋值为零,可以求的自变量的值,而后代入函数解析式,再求得相对应的函数值,即得定点的坐标.解:整理抛物线的解析式,得y=(3-k)x2+(k-2)x+2k-1=3x2-2x-1-kx2+kx+2k=3x2-2x-1-k(x2-x-2)(k≠3),上式中令x2-x-2=0,得x1=-1,x2=2.将它们分别代入y=3x2-2x-1-k(x2-x-2),解得y1=4,y2=7,把点(-

7、1,4)、(2,7)分别代入y=3x2-2x-1-k(x2-x-2),无论k取何值,等式总成立,即点(-1,4)、(2,7)总在抛物线y=(3-k)x2+(k-2)x+2k-1(k≠3)上,即拋物线y=(3-k)x2+(k-2)x+2k-1(k≠3)过定点(-1,4)、(2,7).归纳:第一步:对含有变系数的项集中;第二步:然后将这部分项分解因式,使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式;第三步:令后一因式等于0,得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化,都“失效”了);第四步:解此方程,得到x的

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