高中数学函数专题—导数的概念及应用

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1、导数的概念及应用一、学前思考Q1：什么是导数？导数，说穿了就是一个数，这个数是函数因变量的增量（记作）与自变量的增量（记作）的比值（记作）的极限，而极限本身就是一个数，因此导数的本质是就是数.Q2：为什么要学导数？导数是高中数学课程中的一个重要内容，是研究函数性质（尤其是函数单调性和函数图像）的一个重要工具，也是求解函数在定义区间上的值域或最值以及解决实际问题的最大值、最小值的一个强有力的工具，一直以来是历年模考、高考的热点和重点，因此学好导数对于同学们数学思维的培养和解决相关问题能力的提升意义重大.Q3：怎样学好导数？（1）了解导数概念的某些实际背景：①

2、物理背景：做变速直线运动的物体的瞬时速度、瞬时加速度；②几何背景：光滑曲线的切线的斜率.（2）掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；（3）理解导函数的概念；（4）熟记常见的基本初等函数的导数公式；18（5）掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数；（6）熟悉并掌握导数的几个重要应用：①利用导数，研究函数的单调性；②利用导数，研究函数的极值；③利用导数，研究函数的最值；④利用导数，解决实际问题中的最大值或最小值；⑤导数与其他知识的交汇.二、认识新知识【知识要点】1、导数的概念（1）导数的概念设函数定义在区间上，，当函数的自变

3、量在点处有增量时，函数也相应地有增量.若当时，（也叫函数的平均变化率）有极限，则我们就说函数在点处可导，并把这个极限称为函数在点处的导数，记作或，即.【注】在上述定义中，若令，则.显然，当时，，因此，导数的定义也可写成.18【例1】已知函数点处的导数，则______.【例2】若，则______.（2）导数的几何意义函数在点处的导数就是曲线在点处的切线的斜率，由直线方程的点斜式即可求得相应的切线方程为.【注】求曲线过某点的切线方程时，应首先判断已知点是否在曲线上.一般而言，“点处的切线”中的点必为切点，而“过点的切线”中的点不一定是切点.若点为切点，则求出函

4、数在点处的导数，写出切线斜率，即可得到切线方程；若点不是切点，则需先设出切点坐标，求出函数在所设切点处的导数，用所设切点的横坐标表示出切线斜率，写出切线方程，再回代到已知点的坐标中去，求出切点坐标，即可得到切线方程.【例3】求曲线在点处的切线方程.【例4】求曲线过点的切线方程.【例5】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______.（3）导函数的概念若函数在区间上每一点处的导数都存在，则其导数值在区间上构成一个新的函数，我们称之为函数在区间上的导函数，记作或，这里.182、常见的基本初等函数的导数公式（1）（为常数）；（2）（）,（且）；（3），；（4

5、），（且）；（5），（且）.【例6】已知函数，则______.3、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则（1）；（2）；（3）（）；（4）复合函数的导数为，其中.【例7】用求导的方法求和：（）.4、导数的应用（1）利用导数研究函数的单调性（ⅰ）函数的单调性与导数的关系：设函数定义在开区间内，若对任意的，都有，则函数在开区间内是单调递增的；18设函数定义在开区间内，若对任意的，都有，则函数在开区间内是单调递减的；（ⅱ）利用导数研究函数单调性的一般步骤：第一步：确定函数的定义域；第二步：求函数的导数；第三步：若题目要求求函数的单调区间或证明其单调性，只需在函数

6、的定义域内解或证明不等式或，或先求出方程的所有实数根，再用这些根将函数的定义域分成若干个互不相交的区间，然后列表考察导函数在各个区间内的符号，最终确定出函数的单调区间.（ⅲ）已知函数在某区间内的单调性，求参数.该问题可转化为求解不等式或在给定区间内恒成立问题.【例8】设函数，是定义在上的可导函数，且，设，则下列各式正确的是（）A.B.C.D.【例9】已知函数，是区间上的可导函数，对于任意的，都有，若，则对于，且，下列结论成立的是（）A.B.C.D.【例10】已知函数在实数集上是减函数，则实数的取值范围是______.18（2）利用导数研究函数的极值（ⅰ）极

7、值的概念已知函数定义在开区间内，，若对点附近的所有点，都有（或），则称函数在点处取得极大值（或极小值），记作（或），并把点称为函数的一个极大值点（或极小值点）.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，函数的极大值点与极小值点统称为函数的极值点.（ⅱ）关于极值的一个重要结论费马定理：设函数定义在区间上，，若点是函数的极值点，则必有.【注】该定理表明，若函数有极值点，则必定在极值点处可导，并且导数为零.反之则不一定成立，即若，则点不一定就是函数的极值点，须进一步考察在点左右两侧的符号.若函数在点左右两侧的导数异号，则点为函数的极值点；若函数在点左右两侧的导数同号

8、，则点不为函数的极值点.（ⅲ）利用导数研究函数极值的一般步骤：第一