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1、特殊分块矩阵的逆与秩朱利文，数学计算机科学学院摘··要：矩阵的逆和秩是矩阵的一个重要不变量,在矩阵中起着基本的作用。不论在理论上还是在实践中，矩阵的逆和秩都是一种强有力的工具。深入掌握矩阵的逆和秩可以更好地将其应用到实践中。本文利用分块矩阵的特性，研究了几个特殊分块矩阵的逆和秩。关键词：矩阵的逆和秩是矩阵的一个重要不变量,在矩阵中起着基本的作用。不论在理论上还是在实践中，矩阵的逆和秩都是一种强有力的工具。深入掌握矩阵的逆和秩可以更好地将其应用到实践中。本文利用分块矩阵的特性，研究了几个特殊分块矩阵的逆和秩。SpecialInve
2、rseandRankofBlockMatrixZhuLiwen,SchoolofMathematicsandComputerScienceAbstract:Theinversematrixandrankisanimportantinvariantmatrix.TheinversematrixandrankisanimportantinvariantmatrixWhetherintheoryorinpractice,Theinversematrixandrankisapowerfultool.Deepknowledgeofthei
3、nversematrixandrankcanbebetterappliedtopractice.Inthispaper,thecharacteristicsofblockmatrix.Ontheresearchofsomespecialblockmatrixinverseandrank.Keywords:Partitionedmatrix;Inversematrix;Rankcorrelation引言15分块矩阵是线性代数中一个很重要的工具，研究许多问题都要用到它。分块之后使矩阵之间或矩阵内部之间的关系变的更清楚。本文就分块矩阵
4、在证明相关矩阵秩及求矩阵的逆两个方面做了一些研究。每个部分给了一些定理和例题，通过这些可以看出分块矩阵在处理问题上的简便性和灵活性。1.分块矩阵的概念定义1.1矩阵分块是在处理级数较高的的矩阵时常用的方法。有时候，我们把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样。特别在运算中，把这些小矩阵当作数一样处理。就是所谓矩阵的分块。2.常用的分块方法2.1按行按列分块设是矩阵，是矩阵。将按列分块写成则。还可以把按列分块写成，再把按行分块写成,则2.2找零块例如可分块为可表示为型2.3找相同块例如可分块为可表示为型.2.
5、4找单位块例如可分块为可表示为型（这里的表示３阶单位阵,本文中的I都表示单位阵）.15化为分块上（下）三角阵例如可分块为可表示为型.2.5化为分块对角阵例如可分块为可表示为型.在具体的运算中，我们要根据运算灵活地分块，上述方法只是比较常用，我们可以灵活地运用，宗旨是使运算变得更加简便．此外，我们在矩阵加法和乘法的运算中，分块矩阵的维数必须加以限制，以使所定义的运算能够进行．我们称任何满足上面这种限制的矩阵分块关于所讨论的运算是相容的．对于加法，相容要求两个矩阵按同样的方式分块；而对于乘法，在矩阵Ａ与矩阵Ｂ相乘时，对Ｂ的一个分块方
6、式，Ａ可以有几种分块方式与之相容，这时便要考虑哪种分块方式使运算更加简便．例如：Ａ＝Ｂ＝ＡＢ＝？.解：我们可以把Ｂ分块为而这时若只考虑乘法15的相容性，Ａ可以分块为，或但是我们可以看到第一种分法中有单位块，对于乘法运算显然更简便.ＡＢ＝．＝＝例,=在计算时，把,都看成是由这些小矩阵组成的，即按2级矩阵来运算.于是其中，因此3.分块矩阵与逆定义3.1n阶方阵Ａ可逆，如果有n阶方阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝Ｉ，这里的Ｉ是n阶单位阵．而我们将要研究的分块矩阵的求逆，只不过是先将矩阵分块，然后再求逆．例如２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式
7、及其应用15首先我们从最简单的2×2分块矩阵开始研究,如何求2×2分块矩阵的逆,用初等变换的方法,这是一个很好解决的问题.而我们重点研究一下这种类型的分块矩阵可逆性的存在条件及其普遍适用的求逆公式.设,A为n阶矩阵,B与C分别为n×m和m×n矩阵,D为m阶矩阵.定理1.若A矩阵是可逆的,则M矩阵可逆当且仅当可逆.这时证明:由∵=故存在.由即由可逆,可知存在.∵=,故存在.定理2.若D可逆,则M可逆可逆,这时15证明方法同定理1,在此略去证明过程.在此,我们还可以得出推论:推论1:若B可逆,则M可逆可逆.推论2:若C可逆,则M可逆
8、可逆.通过以上的讨论,我们只要知道某一块可逆,运用定理及其推论就可以判断出M是否可逆,如果可逆,我们就可以运用相应的求逆公式求出.我们在实际应用时,如果一个阶数较大的矩阵,找不到特殊的块(如零块,单位块,相同块等),或者不能化为特殊型(如分块对角阵,分块上(下)
