Lecture 5 Ch2.3-5 特殊矩阵,分块矩阵,逆矩阵.ppt

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1、矩阵运算矩阵的数乘矩阵的乘法方阵的行列式方阵的幂线性运算矩阵的加法}矩阵的转置1§2.3几种特殊矩阵2．数量矩阵：对角线上元素全相等的对角阵3．单位矩阵：对角线上元素全是1的对角阵1．对角矩阵：除对角线外其余元素全为零的方阵2（1）A为对角矩阵时，（2）A、B为对角矩阵时，、、仍是对角矩阵。（3）数量矩阵和其它矩阵相乘时，作用相当于一个数。性质：3（4）单位矩阵的作用相当于1（5）规定44．三角矩阵⑴上三角矩阵：主对角线以下元素全为零的方阵下三角矩阵：主对角线以上元素全为零的方阵⑵注：（1）若为三角矩阵，则（2）若

2、为上（下）三角矩阵则、、仍为上（下）三角矩阵5对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等.如５．对称矩阵定义设为阶方阵，若，即，那么称为对称矩阵.注：若是同阶对称矩阵，则和也是同阶对称矩阵；但就不一定是对称矩阵了。6例1：求、和解：仍然对称仍然对称不对称7定义设为阶方阵，若，即，那么称为反对称矩阵.反对称矩阵的主要特点是:主对角线上的元素为0,其余的元素以主对角线为对称轴互为相反数.如６．反对称矩阵注：若是同阶反对称矩阵，则和也是同阶反对称矩阵；但不一定是反对称矩阵。8证明任一阶方阵都可表示成一对称阵与一

3、反对称阵之和.证明所以C为对称矩阵.所以B为反对称矩阵.命题得证.例2设则设则9如称满足下列条件的矩阵A为阶梯形矩阵：A的每一非零行的左数第一个非零元所在列的下方全为零.７．阶梯形矩阵10§2.4分块矩阵11一、矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵A，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算。具体做法：将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。12例其中13其中零子块14单位块1516二、分块矩阵的运算规则加法：利用分块法对两个同

4、型矩阵进行加法运算时，两个矩阵必须采用相同的分块法。例117其中其中1819数乘：数字乘以分块矩阵等于乘以的每一子块。20乘法：利用分块法对两个矩阵进行乘法运算时，左矩阵列的分法和右矩阵行的分法必须完全相同。例1设求2122分块矩阵的转置：对分块矩阵作转置运算时，除了将行列互换外，还要将其中每一子块同时转置。23都是方阵.分块对角矩阵：设Ａ为ｎ阶方阵，若Ａ的分块矩阵只有主对角线上有非零子块（这些非零子块必须为方阵），其余子块全为零，那么方阵Ａ就称为分块对角阵.即如24都是分块对角阵.25§2.5逆矩阵26使得即对于

5、任意非零的数，如果存在另一个数，倒数：则说是的倒数.一、逆矩阵产生的背景矩阵:运算中的1，矩阵，在矩阵的运算中，单位阵相当于数的乘法那么，对于矩阵Ａ，是否存在另一个使得呢?27二、逆矩阵的概念和性质例如设使得则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的一个逆矩阵，记作.对于阶矩阵，如果存在阶矩阵，定义2.4.12829注：2.可逆矩阵与它的逆矩阵是同阶方阵；3.若是的逆矩阵,则也是的逆矩阵，即、互逆；4.若成立，则也成立。1.不能理解成；30事实上，若设和都是的逆矩阵，则有可得所以的逆矩阵是唯一的。5.若是可逆矩阵,则的逆矩阵

6、唯一；6.零矩阵不可逆；单位矩阵可逆，且　　　；31例1证明矩阵证明：的逆矩阵为32设例2证明解：33由，得例3可逆，并求它们的逆矩阵.由设方阵满足方程，证明证明34三、可逆矩阵的运算规律：1.若可逆，则也可逆，2.若、是同阶可逆阵，则也可逆，且且证明：特别有：（反序定律）353.若可逆，则也可逆，4.若可逆，则也可逆，且且证明：证明：365.若可逆，则证明：注：、可逆，不一定可逆。即使可逆，一般情况下，不一定成立。37定义1四、逆矩阵的存在性奇异矩阵与非奇异矩阵设是奇异矩阵是非奇异矩阵38定义2设为阶方阵，的行列

7、式的元素的代数余子式所构成的矩阵的转置矩阵称为矩阵的伴随矩阵。记为39解：40逆矩阵的存在定理：证明若可逆，则矩阵可逆的充要条件是非奇异，且当A可逆时，必要性：充分性：即；4142由逆矩阵的定义可得43解：44例3设A是非奇异矩阵，且AB=AC，求证：B=C将AB=AC两端同乘以得证明：由于A是非奇异矩阵，故存在。即从而同理，A可逆时，由AB=O可得B=O。即消去律成立454、伴随矩阵的性质=4647（反序定律）111)(---=ABAB48例4设A的逆矩阵为求解：495051525354