2016_2017学年高中数学第三章推理与证明章末分层突破学案北师大版选修

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1、【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第三章推理与证明章末分层突破学案北师大版选修1-2[自我校对]①合情推理②间接证明③归纳推理④综合法________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2、________________________________________________________________________________________________________________________________________合情推理1.归纳推理的特点及一般步骤2.类比推理的特点及一般步骤 (1)观察式子:1+<,1++<,1+++<,…,由此可归纳出的式子为(  )A.1+++…+

3、有相应正确关系为sinα+sin(π+α)=0;三点等分单位圆时,有相应正确关系为sinα+sin+sin=0,由此可以推知,四点等分单位圆时的相应正确关系为__________.【精彩点拨】 (1)观察各式特点,找准相关点,归纳即得.(2)观察各角的正弦值之间的关系得出结论.【规范解答】 (1)由各式特点,可得1+++…+<.故选C.(2)用两点等分单位圆时,关系为sinα+sin(π+α)=0,两个角的正弦值之和为0,且第一个角为α,第二个角与第一个角的差为(π+α)-α=π,用三点等分单位圆时,关系为

4、sinα+sin+sin=0,此时三个角的正弦值之和为0,且第一个角为α,第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等,即有-=-α=.依此类推,可得当四点等分单位圆时,为四个角正弦值之和为0,且第一个角为α,第二个角为+α=+α,第三个角为+α+=π+α,第四个角为π+α+=+α,即其关系为sinα+sin+sin(α+π)+sin=0.【答案】 (1)C (2)sinα+sin+sin(α+π)+sin=0[再练一题]1.已知函数y=sin4x+cos4x(x∈R)的值域是,则(1)函数y=sin

5、6x+cos6x(x∈R)的值域是__________;(2)类比上述结论,函数y=sin2nx+cos2nx(n∈N+)的值域是__________.【解析】 (1)y=sin6x+cos6x=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=sin4x-sin2xcos2x+cos4x=(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x=1-sin2(2x)=1-(1-cos4x)=+cos4x∈.(2)由类比可知,y=sin2nx+cos2nx的值域是[21-n,1].【答

6、案】 (1) (2)[21-n,1]综合法与分析法1.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题的常用的方法,综合法是由因导果的思维方式,而分析法的思路恰恰相反,它是执果索因的思维方式.2.分析法和综合法是两种思路相反的推理方法.分析法是倒溯,综合法是顺推,二者各有优缺点.分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述易错;综合法条理清晰,易于表述,因此对于难题常把二者交互运用,互补优缺,形成分析综合法,其逻辑基础是充分条件与必要条件. 设a>0,b>0,a+b=1,求证:++≥8.试用

7、综合法和分析法分别证明.【精彩点拨】 (1)综合法:根据a+b=1,分别求+与的最小值.(2)分析法:把变形为=+求证.【规范解答】 法一:(综合法)∵a>0,b>0,a+b=1,∴1=a+b≥2,≤,ab≤,∴≥4.又+=(a+b)=2++≥4,∴++≥8.法二:(分析法)∵a>0,b>0,a+b=1,要证++≥8,只要证+≥8,只要证+≥8,即证+≥4.也就是证+≥4.即证+≥2,由基本不等式可知,当a>0,b>0时,+≥2成立,所以原不等式成立.[再练一题]2.(1)已知a,b,c为互不相等的非负数.

8、求证:a2+b2+c2>(++).(2)用分析法证明:2cos(α-β)-=.【解】 (1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,又因为a,b,c为互不相等的非负数,所以上面三个式子中都不能取“=”,所以a2+b2+c2>ab+bc+ac,因为ab+bc≥2,bc+ac≥2,ab+ac≥2,又a,b,c为互不相等的非负数,所以ab+bc+ac>(++),所以a2+b2+c2>(++).(

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