浙江2020版高考数学第八章立体几何与空间向量专题突破五高考中的立体几何问题讲义（含解析）

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1、高考专题突破五　高考中的立体几何问题题型一　求空间几何体的表面积与体积例1　(1)一个正方体挖去一个多面体所得的几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图和俯视图均为边长等于2的正方形，则这个几何体的表面积为(　　)A.16＋4B.16＋4C.20＋4D.20＋4答案　D解析　由三视图可知，该几何体是棱长为2的正方体的内部挖去一个底面边长为2的正四棱锥，将三视图还原可得如图，可得其表面积为S＝5×22＋4××2×＝20＋4，故选D.(2)(2018·浙江省嘉兴市第一中学期中)如图，已知AB为圆O的直径，C为圆上一动点，PA⊥圆O所在平

2、面，且PA＝AB＝2，过点A作平面α⊥PB，交PB，PC分别于E，F，当三棱锥P－AEF体积最大时，tan∠BAC＝________.答案　解析　∵PB⊥平面AEF，∴AF⊥PB，又AC⊥BC，AP⊥BC，AC∩AP＝A，AC，AP⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又∵AF⊂平面PAC，∴AF⊥BC，又∵PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，∴AF⊥平面PBC，∴∠AFE＝90°，设∠BAC＝θ，在Rt△PAC中，AF＝＝＝.在Rt△PAB中，AE＝PE＝，∴EF＝，∴V三棱锥P－AEF＝·AF·EF·PE＝AF·×＝·＝≤，∴当A

3、F＝1时，三棱锥P－AEF的体积取最大值，此时＝1，且0°<θ<90°，∴cosθ＝，sinθ＝，tanθ＝.思维升华(1)等积转换法多用来求三棱锥的体积.(2)不规则的几何体可通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.跟踪训练1　(1)(2018·嘉兴模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积(单位：cm2)是(　　)A.36＋24B.36＋12C.40＋24D.40＋12答案　B解析　由三视图得该几何体为一个组合体，上面是棱长为2的正方体，下面是下底为边长为4的正方形、上底为边长为2的正方形的四棱台，则

4、其表面积为5×22＋4××＋42＝36＋12，故选B.(2)(2018·温州高考适应性测试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　)A.＋πB.＋πC.D.答案　A解析　由三视图可还原出几何体的直观图，该几何体是由半个圆柱(底面圆的半径为1，高为2)和一个四棱锥(底面为边长是2的正方形，高为1)组成的，如图所示.故该几何体的体积V＝×π×12×2＋×22×1＝＋π.故选A.题型二　空间点、线、面的位置关系例2　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1

5、，BC的中点.(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积.(1)证明　在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明　方法一　如图1，取AB中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，

6、所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.方法二　如图2，取AC的中点H，连接C1H，FH.因为H，F分别是AC，BC的中点，所以HF∥AB，又因为E，H分别是A1C1，AC的中点，所以EC1∥AH，且EC1＝AH，所以四边形EAHC1为平行四边形，所以C1H∥AE，又C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A，所以平面ABE∥平面C1HF，又C1F⊂平面C1HF，所以C1F∥平面ABE.(3)解　因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝＝.所以三棱锥E

7、－ABC的体积V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.思维升华(1)平行问题的转化利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反.在实际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用.(2)垂直问题的转化在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判定定理证明面面垂直作好铺垫.应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一

8、点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题.跟踪训练2　如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.(1)求