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时间:2019-04-15
《2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用3.2.1常见函数的导数作业苏教版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.2.1常见函数的导数[基础达标]1.若函数f(x)=10x,则f′(1)=________.解析:∵f′(x)=(10x)′=10xln10,∴f′(1)=10ln10.答案:10ln102.给出下列结论:①若y=,则y′=-;②若y=,则y′≠;③若y=,则y′=-2x-3;④若f(x)=3x,则f′(1)=3.其中正确的序号是________.解析:①y′=(x-3)′=-3x-4=-,正确.②y′=(x)′=x-=≠,不正确.③y′=(x-2)′=-2x-3,正确.④f′(x)=(3x)′=3,∴f′
2、(1)=3,正确.答案:①③④3.过曲线y=上一点P的切线的斜率为-4,则点P的坐标为________.解析:∵y′=(x-1)′=-=-4,∴x2=,x=±.∴切点坐标为(,2)或(-,-2).答案:(,2)或(-,-2)4.已知f(x)=xa(a∈Z),若f′(-1)=-4,则a的值等于________.解析:∵f′(x)=axa-1∴f′(-1)=a·(-1)a-1=-4,∴a=4.答案:45.设正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是________.解析:∵y
3、′=(sinx)′=cosx∈[-1,1],∴在P点处的切线l的斜率k∈[-1,1],设其倾斜角为α,则-1≤tanα≤1,∴0≤α≤或≤α<π.答案:[0,]∪[,π)6.函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有________条.解析:∵y′=3x2,设切点为(x0,y0),则3x=1,得x0=±,即在点(,)和点(-,-)处有斜率为1的切线.答案:27.求下列函数的导数:(1)y=;(2)y=4x;(3)y=log9x;(4)y=sin2x+cos2x;(5)y=sin(+x).解:(1)y′=(x)′=x
4、-.(2)y′=4xln4=2(ln2)·4x.(3)y′==.(4)∵y=sin2x+cos2x=1,∴y′=1′=0.(5)∵y=sin(+x)=cosx,∴y′=-sinx.8.求曲线y=ex在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积.解:∵f′(x)=(ex)′=ex,∴f′(2)=e2.∴切线方程为y-e2=e2(x-2).令x=0,则y=-e2,令y=0,则x=1,∴切线与坐标轴交点坐标为(1,0)和(0,-e2),∴S=×1×e2=e2.[能力提升]1.曲线y=x3在点(0,0)处的切线方程
5、是________.解析:∵y′=(x3)′=3x2,∴k=y′
6、x=0=0.∴y=x3在点(0,0)处的切线方程是y=0.答案:y=02.若函数y=f(x)满足f(x-1)=1-2x+x2,则y′=f′(x)=________.解析:∵f(x-1)=1-2x+x2=(x-1)2,∴f(x)=x2,∴f′(x)=(x2)′=2x.答案:2x3.求函数y=cosx在点x=-处的切线方程.解:∵y′=(cosx)′=-sinx,∴y=cosx在点x=-处的切线斜率k=-sin(-)=,又当x=-时,y=cos(-)
7、=.∴切点坐标为(-,),由点斜式得切线方程为y-=(x+),即x-y++1=0.4.已知抛物线y=x2,直线x-y-2=0,求抛物线上的点到直线的最短距离.解:根据题意可知与直线x-y-2=0平行的抛物线y=x2的切线,对应的切点到直线x-y-2=0的距离最短,设切点坐标为(x0,x),则切线斜率k=2x0=1,所以x0=,所以切点坐标为(,),切点到直线x-y-2=0的距离d==.所以抛物线上的点到直线x-y-2=0的最短距离为.
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