江苏专用2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.2导数的运算3.2.1常见函数的导数学案苏教版选修

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1、3.2.1常见函数的导数21学习目标：1.能根据导数的定义，求函数y＝c，y＝x，y＝x，y＝，y＝x的导x数．2.能利用给出的基本初等函数的导数公式，求简单函数的导数．(重点、难点)[自主预习·探新知]基本函数的导数公式(kx＋b)′＝kC′＝0(C为常数)αα－1(x)′＝αx(α为常数)xx(a)′＝aln_a(a＞0，且a≠1)11(logax)′＝logae＝(a＞0，且a≠1)xxlnaxx(e)′＝e1(lnx)′＝x(sinx)′＝cos_x(cosx)′＝－sin_x[基础自测]1．判断正误：1(1)(log3π)′＝.()πln31(2)若f(x)＝

2、，则f′(x)＝lnx．()x(3)因为(sinx)′＝cosx，所以(sinπ)′＝cosπ＝－1.()32(4)f(x)＝a(a为常数)，f′(x)＝3a.()【解析】(1)×.(log3π)′＝0.11(2)×.若f(x)＝，则f′(x)＝－.2xx(3)×.(sinπ)′＝0.3(4)×.∵a是常数，∴f(x)＝a是常数，故f′(x)＝0.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)×2．函数y＝lnx在x＝2处的切线的斜率为________．11【解析】k＝y′

3、x＝2＝(lnx)′

4、x＝2＝

5、x＝2＝.x21【答案】2[合作探究·攻重难]利用导数公式求函数的导数求

6、下列函数的导数：22x(1)y＝x·x；(2)y＝2cos－1；(3)y＝log2x；21－x3x4(4)y＝x；(5)y＝2；(6)y＝.x【导学号：95902195】[思路探究](3)可直接利用公式求导；(1)(2)(4)(5)(6)需变形之后利用公式求导．【自主解答】(1)2x(2)∵y＝2cos－1＝cosx，2∴y′＝(cosx)′＝－sinx.1(3)y′＝(log2x)′＝.xln2[规律方法]利用求导公式求函数的导数的两个关注点1直接用公式：若所求函数符合基本初等函数导数公式，则直接利用公式求解.2变形用公式：对于不能直接利用公式的类型，关键是利用代数恒

7、等变换对函数解析式进行化简或变形，合理转化为可以直接应用公式的基本函数的模式，如根式化成分数指数幂的形式等.[跟踪训练]1．求下列函数的导函数：x(1)y＝2；43(2)y＝x；xx(3)y＝2sincos.22利用导数求切线方程3(1)曲线y＝x在点(1,1)处的切线方程为________．2(2)过点(3,5)且与曲线y＝x相切的切线方程为__________．[思路探究](1)可直接利用k＝f′(x0)求切线的斜率．(2)点(3,5)不在曲线上，故解答本题需先设出切点坐标，再利用导数的几何意义求出斜率，进而求出切点坐标，得到切线的方程．22【自主解答】(1)∵y′

8、＝3x，∴k＝3×1＝3，故切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.2(2)∵点(3,5)不在曲线y＝x上，2∴可设过点(3,5)与曲线y＝x相切的直线与曲线的切点为(x0，y0)．2∵y′＝2x，∴当x＝x0时，y′＝2x0，故切线方程为y－x0＝2x0(x－x0)．2又∵直线过(3,5)点，∴5－x0＝2x0(3－x0)，2即x0－6x0＋5＝0，解得x0＝1或x0＝5.故切线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.【答案】(1)3x－y－2＝0(2)2x－y－1＝0或10x－y－25＝0[规律方法]1．利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1

9、)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．2．求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤[跟踪训练]π0，2．设P(x0，y0)x0∈2是曲线y＝cosx上的点，在点P处的切线与直线3x＋2y－1＝0平行，则P点的坐标为________.【导学号：95902196】【解析】∵点P处的切线与3x＋2y－1＝0平行，3∴切线斜率k＝－，233∴y′＝－sinx0＝－，∴sinx0＝.22π0，π又∵x0∈2，∴x0＝，3π1π1，∴y0＝cos＝，∴P点为32.32π1，【答案】32导数的

10、综合应用[探究问题]1．函数y＝f(x)的导数为f′(x)，f′(x0)的几何意义是什么？【提示】f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率．2．在涉及曲线的切线问题时，若切点坐标没有作为条件给出，应如何处理？【提示】应设出切点坐标，利用k＝f′(x0)，y0＝f(x0)等条件构建方程组求解．3．设某物体运动的位移为y＝f(t)，那么f′(t0)的实际意义是什么？【提示】f′(t0)是物体在t＝t0时刻的瞬时速度．3(1)曲线y＝x上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB(O是原点)是以A为顶点的等腰三角