定积分典型例题66849

《定积分典型例题66849》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、定积分典型例题例1求．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间等分，则每个小区间长为，然后把的一个因子乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即==．例2=_________．解法1由定积分的几何意义知，等于上半圆周()与轴所围成的图形的面积．故=．例18计算．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解＝＝＝．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如，则是错误

2、的．错误的原因则是由于被积函数在处间断且在被积区间内无界.例19计算．分析被积函数在积分区间上实际是分段函数．解例20设是连续函数，且，则．分析本题只需要注意到定积分是常数（为常数）．解因连续，必可积，从而是常数，记，则，且．所以，即，从而，所以．例21设，，，求,并讨论的连续性．分析由于是分段函数,故对也要分段讨论．解（1）求的表达式．的定义域为．当时，,因此．当时，,因此,则==，故．(2)在及上连续,在处，由于,,．因此,在处连续,从而在上连xu例22计算．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解=．由于是偶函数，而是奇函

3、数，有,于是===由定积分的几何意义可知,故．例23计算．分析被积函数中含有及，考虑凑微分．解=====．例24计算．解=====例26计算，其中．解法1令，则=．注如果先计算不定积分，再利用牛顿莱布尼兹公式求解,则比较复杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．例27计算．分析被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式．解设，，，则=．例29计算．分析被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解．例30计算．分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解===．例31计算．分析被积函数中出现指数函数与

4、三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解由于，　　　　　　　　　（1）而，（2）将（2）式代入（1）式可得,故．例32　计算．分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解．　　　　　　　　　　　　　　（1）令，则．（2）将（2）式代入（1）式中得．例33设在上具有二阶连续导数，且，求．分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．解由于．故．，例35（00研）设函数在上连续，且，．试证在内至少存在两个不同的点使得．分析本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数，找出的三个零点，由已知条件易知，，为的两个

5、零点，第三个零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明在之间存在两个零点．证法1令，则有．又，由积分中值定理知，必有，使得=．故．又当，故必有．于是在区间上对分别应用罗尔定理，知至少存在，，使得，即．例36计算．分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解=====．例37计算．解．例38计算．分析该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当和均收敛时，原反常积分才是收敛的．解由于====．====．所以．例39计算．分析此题为混合型反常积分，积分上限为，下限为被积函数的瑕点．解令，则有＝＝，再令，于是可

6、得＝＝＝＝＝＝＝＝．例40计算．解由于，可令，则当时，；当时，；当时，；当时，；故有．注有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．例41求由曲线，，，所围成的图形的面积．分析若选为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5－1所示，此做法留给读者去完成．下面选取以为积分变量．解选取为积分变量，其变化范围为，则面积元素为==．于是所求面积为=．例42抛物线把圆分成两部分，求这两部分面积之比．解抛物线与圆的交点分别为与，如图所示5－2所示，抛物

7、线将圆分成两个部分，，记它们的面积分别为，，则有图5－15－1图5－2===，=，于是==．例43求心形线与圆所围公共部分的面积．分析心形线与圆的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．解求得心形线与圆的交点为=，由图形的对称性得心形线与圆所围公共部分的面积为图5－3==．例44求曲线在区间内的一条切线，使得该切线与直线，和曲线所围成平面图形的面积最小（如图5－4所示）．分析要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式．解设所求切线与曲线相切于点，则切线方程为．又切线与直线，和曲线所围成的平面图形的面积为图5－4==．由于

8、==，令，解得驻点．当时，而当时．故当时，取得极小值．由于驻点唯一．故当时，取得最小值．此时切