定积分典型例题.docx

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1、精品文档定积分典型例题1例1求lim(3n232n23n3)．nn2分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．11111解将区间[0,1]n等分，则每个小区间长为x，然后把的一个因子乘inn2nnn入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即111n132lim(3n232n23n3)=lim(333)=3xdx．nn2nnnnn042例22xx2dx=．02解法1由定积分的几何意义知，2xx2dx等

2、于上半圆周(x1)2y21(y0)022xx与x轴所围成的图形的面积．故2dx=．02解法2本题也可直接用换元法求解．令x1=sint（t），则2222xx2dx=21sin2tcostdt=221sin2tcostdt=22cos2tdt=00022111例3比较exdx，ex2dx，(1x)dx．222分析对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小．解法1在[1,2]上，有exex2．而令f(x)ex(x1)，则f(x)

3、ex1．当x0时，f(x)0，f(x)在(0,)上单调递增，从而f(x)f(0)，可知在[1,2]上，有ex1x．又12111f(x)dxf(x)dx，从而有(1x)dxexdxex2dx．21222e解法2在[1,2]上，有exex2．由泰勒中值定理ex1xx2得ex1x．注意到2!12f(x)dxf(x)dx．因此21111(1x)dxexdxex2dx．2220例4估计定积分ex2xdx的值．2分析要估计定积分的值,关键在于确定被积函数在积分区间上的最大值与最小值．1欢。迎下载精品文档1解设f(x)ex2x

4、,因为f(x)ex2x(2x1),令f(x)0，求得驻点x,而211f(0)e01,f(2)e2,f()e4,2故1e4f(x)e2,x[0,2],从而122e4ex2xdx2e2,0所以102e2ex2xdx2e4.2b例5设f(x)，g(x)在[a,b]上连续，且g(x)0，f(x)0．求limg(x)nf(x)dx．na解由于f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有最大值M和最小值m．由f()x0知M0，m0．又g(x)0，则bbbnmg(x)dxg(x)nf(x)dxnMg(x)dx．a

5、aa由于limnmlimnM1，故nnbblimg(x)nf(x)dx=g(x)dx．naasinxnp例6求limdx,p,n为自然数．nnx分析这类问题如果先求积分然后再求极限往往很困难，解决此类问题的常用方法是利用积分中值定理与夹逼准则．解法1利用积分中值定理sinx设f(x),显然f(x)在[n,np]上连续,由积分中值定理得xsinxsinnpdxp,[n,np],nx当n时,,而sin1,故sinxsinlimnpdxlimp0．nnx解法2利用积分不等式因为npsinxnpsinxn

6、p1npdxdxdxln,nxnxnxnnp而limln0,所以nn2欢。迎下载精品文档sinxnplimdx0．nnxxn1例7求limdx．n01xbb解法1由积分中值定理f(x)g(x)dxf()g(x)dx可知aa11xndx=xndx，01．101x10又1111limxndxlim0且1，n0nn121故xn1limdx0．n01x解法2因为0x1，故有xn0xn．1x于是可得xn110dxxdx．n01x0又由于11xndx0(n)．0n1因此xn1l

7、imdx=0．n01x例8设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且41f(x)dxf(0)．证明在(0,1)内34存在一点c，使f(c)0．分析由条件和结论容易想到应用罗尔定理，只需再找出条件f()f(0)即可．证明由题设f(x)在[0,1]上连续，由积分中值定理，可得31f(0)4f(x)dx4f()(1)f()，3443其中[,1][0,1]．于是由